Дифференциальное уравнение установившегося плавно изменяющегося движения жидкости

В предыдущих главах рассматривалось в основном напорное движение жидкости, при котором форма и размеры живого сечения потока полностью определялись формой и размерами сечения самого русла. Наличие местных сопротивлений в напорных потоках приводит к локальным изменениям живого сечения.

При движении жидкости в открытом русле (в том числе в частично заполненном закрытом русле) любое местное изменение условий движения (расширение, преграда, перелом уклона дна русла и т. п.) неизбежно приведет к деформации живого сечения потока на некоторой (иногда довольно значительной) его длине. При этом все точки свободной поверхности будут по-прежнему находиться под влиянием внешнего давления газовой среды, так что деформация живого сечения потока будет обязательно связана с изменением координат его свободной поверхности.

В настоящей главе рассматривается установившееся плавно изменяющееся движение жидкости в открытых руслах, при котором изменение основных параметров потока по его длине происходит достаточно плавно. В связи с этим при выводе уравнений движения можно пренебречь составляющими местных скоростей в плоскости живого сечения потока и принять распределение давлений в этой плоскости соответствующим гидростатическому закону. Предположим также, что работа сил сопротивления при неравномерном и равномерном движениях практически одинакова В дальнейшем изложении будем иметь в виду, что встречающиеся в инженерной практике открытые русла можно разделить на две категории: призматические и непризматические.

К призматическим руслам относятся русла, в которых основные геометрические параметры потока остаются постоянными по всей его длине.

Площадь живого сечения потока призматического русла зависит от глубины наполнения русла:

В общем случае непризматического русла площадь живого сечения потока является функцией двух переменных:

где — глубина наполнения русла; - характерный поперечный размер для данной формы русла (например, для прямоугольного русла — его ширина).

Рассмотрим общий случай установившегося плавно изменяющегося движения жидкости в открытом непризматическом русле (рис.1).

Введем следующие обозначения:

• — продольный уклон дна русла;
• — внешнее давление, обычно равное ;
• — расход потока;

— площадь живого сечения потока;

• — наибольшая глубина потока в данном живом сечении, различная для разных сечений;
• — коэффициент кинетической энергии (Кориолиса);
• — средняя скорость в данном живом сечении;
• — гидравлический уклон, обычно принимаемый для открытых русл равным продольному уклону свободной поверхности потока;
• — расстояние по вертикали от дна до плоскости сравнения в данном живом сечении.

Рис. 1.

Принято называть русло с положительным (прямым) уклоном дна такое русло, у которого абсолютные отметки дна уменьшаются по направлению движения жидкости (т. е. вдоль оси).

Выделим в потоке два сечения 1−1 и 2−2 на бесконечно малом расстоянии друг от друга (рис. 2).

Составим для выделенных сечений уравнение Бернулли относительно плоскости 0−0, проведенной через нижнюю точку живого сечения 2−2:

Раскрывая как, пренебрегаем в силу малости и, заменяя в силу ранее сказанного через, получаем после сокращений или.

.

Заменив среднюю скорость ее выражением через расход и площадь живого сечения, запишем.

;

Запишем производную, как.

.

Тогда получим.

или.

Обращаясь к рис. 2, видим, что частная производная равна ширине живого сечения по верху, которую в дальнейшем будем обозначать через, т. е. .

Окончательно получаем.

Рис. 2.

Уравнение является общим дифференциальным уравнением установившегося плавно изменяющегося движения жидкости в открытом русле.

В частном случае призматического русла уравнение (15.7) несколько упрощается, так как в силу ранее сказанного производная равна в этом случае нулю:

После преобразований вычитаемого в знаменателе правой части уравнений (15.7) или (15.8) получим.

где — средняя глубина живого сечения.

Таким образом, рассматриваемая дробь представляет собой удвоенное отношение удельной кинетической энергии к удельной потенциальной энергии при средней глубине потока в данном живом сечении. Учитывая это, в дальнейшем будем называть безразмерный комплекс параметром кинетичности потока, обозначая его символом :

Для прямоугольного русла и при =1 параметр кинетичности представляет собой число Фруда где за характерный линейный размер живого сечения принята глубина .

жидкость призматический открытый русло.