Движение электрона в скрещенных полях

Под скрещенными полями будем понимать наложенные друг на друга электрические и магнитные поля, перпендикулярные друг другу во всех точках континуального пространства.

К первому типу скрещенных полей отнесем случай, когда оба поля однородны и их векторы взаимно перпендикулярны.

Второй тип скрещенных полей состоит из однородного магнитного поля и электрического поля, обладающего осевой симметрией. Такое электрическое поле образуется в зазоре между коаксиальными цилиндрами.

На рис. 3.13 показана траектория движения электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях.

Рис. 3.13. Движение электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях Начальные условия запишем в виде:

В скрещенных полях на электрон действуют силы F, определяемые соотношением: и тогда электрон движется с ускорением:

В декартовой системе координат ускорение можно записать:

где i_tj, k —единичные векторы.

Аналогично:

Уравнение (3.37) можно переписать в виде: гдеГ|?г = 0 .

Тогда эта система уравнений (3.42) примет вид: где (о= г|В — циклотронная частота.

Решение уравнения (3.45) запишем в виде:

а это означает, что вдоль оси г электрон движется прямолинейно и равномерно. Уравнение (3.44) проинтегрируем (подобно тому, как уже интегрировали до этого):

Подставим (3.46) в (3.43) и получим: Перепишем уравнение (3.47) в виде:

где f_Q = -rE-uVy_Q.

Это выражение — известное уравнение колебаний с правой частью, решение которого является функция:

где R —амплитуда колебаний, а величина <�р₀-(о² является начальной фазой.

Для рассматриваемого случая решение запишем в виде:

Анализ этого решения показывает, что смещение по оси х имеет постоянную составляющую, которая зависит как от электрического, так и от магнитного полей, а переменная составляющая — это колебания, частота которых зависит от магнитного поля.

Скорость по оси х периодически изменяется.

Решая совместно уравнения (3.49) и (3.50) при / = 0, имеем:

или

Возведя в квадрат и сложив оба уравнения, получим: или

Разделив уравнения (3.51) одно на другое, имеем:

Таким образом, мы получили амплитуду и начальную фазу колебательного уравнения. Теперь решим совместно уравнения (3.44) и (3.46):

Проинтегрируем уравнение (3.46) и, воспользовавшись соотношением (3.49), получим:

Проинтегрировав это уравнение, получим выражение для траектории электрона по оси^у:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Константа С находится из начальных условий: при / = О или Тогда Выпишем окончательные выражения для траектории электронов по координатам в систему параметрических уравнений:

Для определения траектории по координатам х и у исключим параметр /.

Итак, при I = О

Это выражение — уравнение окружности с радиусом R и координатами центра, которые описываются следующим образом:

Анализ показывает, что траектория движения электронов в плоскости (дг, у) представляет собой окружность с центром, которая равномерно смешается по оси у и одновременно перпендикулярна полям? и В.

Графически проекция траектории на плоскость (дг, которая перпендикулярна магнитному полю, изображена на рис. 3.14.

Эта кривая напоминает циклоиду— кривую, описываемую какой-либо точкой колеса, катящегося без скольжения. В нашем случае траектория имеет вид удлиненной циклоиды, радиус которой зависит от напряженности электрического поля и индукции магнитного поля.

Рис. 3.14. Проекция траектории электрона, движущегося в скрещенных ЕхВ полях.

При смене знака напряженности траектория движения также меняет знак. Параметры циклоиды можно изменять путем варьирования значений Vx_Q и Vy_Q.

Циклоида может превратиться в прямую линию, если в направлении х начальная скорость отсутствует, а начальная скорость в отрицательном направлении по оси у равна скорости сноса.

Другими словами, если сила Лоренца и электростатическая силы равны F^ = -qE = = Ел-, то смещение в направлении х будет отсутствовать.