Уклоны. 
Занимательная геометрия

Вдоль железнодорожного полотна, кроме верстовых (точнее^:— километровых) столбов, вы видите еще и другие невысокие столбы с непонятными для многих надписями на косо прибитых дощечках, вроде таких, как на рис. 80.

Рис. 80. «Уклонные знаки».

Это — «уклонные знаки». В первой, например, надписи верхнее число 0,002 означает, что уклон пути здесь (в какую сторону— показывает положение дощечки) равен 0,002: путь поднимается или опускается на 2 мм при каждой тысяче миллиметров. А нижнее число 140 показывает, что такой уклон идет на протяжении 140 м, где поставлен другой знак с обозначением нового уклона. (Когда дороги не были еще переустроены по метрической системе мер, такая дощечка означала, что на протяжении 140 сажен путь поднимается или опускается каждую сажень на 0,002 сажени.) Вторая дощечка с над- 0,006.

писью — ^ показывает, что на протяжении ближайших.

55 м путь поднимается или опускается на 6 мм при каждом метре.

Зная смысл знаков уклона, вы легко можете вычислить разность высот двух соседних точек пути, отмеченных этими знаками. В первом случае, например, разность высот составляет 0,002 • 140 = 0,28 м; во втором — 0,006 • 55 = 0,33 м.

В железнодорожной практике, как видите, величина наклона пути определяется не в градусной мере. Однако легко перевести эти путевые обозначения уклона в градусные. Если АВ (рис. 80) — линия пути, ВС — разность высот точек А и В, то наклон линии пути АВ к горизонтальной линии АС будет на столбике обозначен отноше;

нием. Так как угол А очень мал, то можно принять.

АВ и АС за радиусы окружности, дуга которой есть ВС^[1].

Тогда вычисление угла А, если известно отношение ВС: АВ, не составит труда. При наклоне, например, обозначенном 0,002, рассуждаем так: при длине дуги, равной ^ радиуса, угол составляет 1° (см. с. 87); какой же угол соответствует дуге в 0,002 радиуса? Находим его величину х из пропорции

т.е. около 7'.

На железнодорожных путях допускаются лишь весьма малые уклоны. У нас установлен предельный уклон в.

• 1°
• 0,008, т. е. в градусной мере 0,008 • 57 — менее —: это
• 2

наибольший уклон. Только для Закавказской железной дороги допускаются в виде исключения уклоны до 0,025, соответствующие в градусной мере почти ½°.

Столь незначительные уклоны совершенно не замечаются нами. Пешеход начинает ощущать наклон почвы под своими ногами лишь тогда, когда он превышает V24: это отвечает в градусной мере ⁵¹/24* т. е. около 2V2⁰.

Пройдя по железнодорожному пути несколько километров и записав замеченные при этом знаки уклона, вы сможете вычислить, насколько в общей сложности вы поднялись или опустились, т. е. какова разность высот между начальными и конечными пунктами.

Разница в длине составляет всего 0,5. Для приближенных вычислений подобной ошибкой можно, конечно, пренебречь.

ЗАДАЧА Вы начали прогулку вдоль полотна железной дороги.

. 0,004.

у столбика со знаком подъема — и встретили далее.

следующие знаки:

Прогулку вы кончили у очередного знака уклона. Какой путь вы прошли и какова разность высот между первым и последним знаками?

РЕШЕНИЕ Всего пройдено.

Вы поднялись на.

а опустились на

значит, в общей сложности вы оказались выше исходной точки на

• [1] Иному читателю покажется, быть может, недопустимымсчитать наклонную АВ равною перпендикуляру АС. Поучительнопоэтому убедиться, как мала разница в длине АС и АВ, когда ВСсоставляет, например, 0,01 от АВ. По теореме Пифагора имеем: