ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚
АнтистрСссовый сСрвис

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

ΠžΠΏΡ‹Ρ‚Ρ‹ ГалилСя с ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ Π“Π°Π»ΠΈΠ»Π΅ΠΉ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ выяснил, Ρ‡Ρ‚ΠΎ тяТСлыС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π²Π½ΠΈΠ· Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ быстро, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΈΠ΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ это ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π“Π°Π»ΠΈΠ»Π΅ΠΎ Π“Π°Π»ΠΈΠ»Π΅ΠΉ сбрасывал с ΠŸΠΈΠ·Π°Π½ΡΠΊΠΎΠΉ башни Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΡƒΡˆΠ΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ядро массой 80 ΠΊΠ³ ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΡƒΡŽ ΠΌΡƒΡˆΠΊΠ΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡƒΠ»ΡŽ массой 200 Π³. ΠžΠ±Π° Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π»ΠΈ Π·Π΅ΠΌΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. Π”ΠΎ Π½Π΅Π³ΠΎ… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

ΠšΠ ΠΠ’ΠšΠžΠ• Π˜Π—Π›ΠžΠ–Π•ΠΠ˜Π• ΠŸΠ ΠžΠ“Π ΠΠœΠœΠΠžΠ“Πž ΠœΠΠ’Π•Π Π˜ΠΠ›Π Π‘ ΠœΠ•Π’ΠžΠ”Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜ΠœΠ˜ Π£ΠšΠΠ—ΠΠΠ˜Π―ΠœΠ˜ БВУДЕНВУ

На ΠΏΡ€ΠΎΡ‚яТСнии всСй своСй ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π΅ΠΆΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎ сталкиваСтся с ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΠΌ создаСт Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅.

Π’Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ исслСдований ΠΈΠ³Ρ€Π°ΡŽΡ‚ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρ‹ (ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π΅Ρ‡. hypothesis — основаниС, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅), Ρ‚. Π΅. ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ прСдсказания, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ суТдСния ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π½ΠΎ-слСдствСнных связях явлСний, основанныС Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ количСствС ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, наблюдСний, Π΄ΠΎΠ³Π°Π΄ΠΎΠΊ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π½Π° Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΡ….

Под модСлью (ΠΎΡ‚ Π»Π°Ρ‚. modulus — ΠΌΠ΅Ρ€Π°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π΅Ρ†, Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°) ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ мыслСнно прСдставляСмый ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡΠ΅ познания (изучСния) Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚-ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π», сохраняя Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ исслСдования Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ построСния ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ называСтся ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ получСния ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… свойствах ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°-ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°-ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ называСтся ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ).

МодСли Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ…:

Π² ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Π»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Ρ‹ двумя модСлями: ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ;

Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅ — ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Π°Π·;

Π² ΡΠ»Π΅ΠΊΡ‚ричСствС Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ заряТСнныС Ρ‚Π΅Π»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Ρ‹ модСлями, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ «Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ заряд» ΠΈ «Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ заряд»;

Π² Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ сущСствовало нСсколько ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ²: Вомпсона, Π Π΅Π·Π΅Ρ€Ρ„ΠΎΡ€Π΄Π°, планСтарная модСль, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ядра — капСльная ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Π°Ρ.

Рассмотрим основныС Ρ†Π΅Π»ΠΈ, прСслСдуСмыС ΠΏΡ€ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π² Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΉ сфСрС.

  • 1. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Π½ΠΎΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ повСдСния слоТных процСссов ΠΈ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ.
  • 2. МодСли ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π²Ρ‹ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ сущСствСнныС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‹Π΅ свойства ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ сама модСль ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ лишь Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ основныС характСристики исходного ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°.
  • 3. Если свойства ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° с Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° прогнозирования состояний Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, модСль Π½ΡƒΠΆΠ½Π° для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹:

  • 1) ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ устроСн ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚: ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π΅Π³ΠΎ структура, основныС свойства, Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ развития, саморазвития ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅ с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ срСдой;
  • 2) Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ процСссом, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠ΅ способы управлСния ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… цСлях ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Сриях;
  • 3) ΠΏΡ€ΠΎΠ³Π½ΠΎΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ прямыС ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ послСдствия Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… способов ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ воздСйствия Π½Π° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚.

МодСль — это инструмСнт, ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ Π½Π° ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ повСдСния ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π² ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π² Ρ†Π΅Π»ΡΡ… управлСния этим ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ прСдсказания Π΅Π³ΠΎ свойств.

ВСория — Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ абстрактноС, Ρ‡Π΅ΠΌ модСль, срСдство, основной Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ являСтся объяснСниС повСдСния ΠΈΠ»ΠΈ свойств Π½Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ класса ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ².

ВСория содСрТит ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

Π ΠΈΡ‡Π°Ρ€Π΄ Π€Π΅ΠΉΠ½ΠΌΠ°Π½:

«Π£ Π½Π°Ρ всСгда Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ, Π½ΠΎ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π’Ρ‹ Π²Ρ‹Π΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΠ»ΠΈ ΡƒΠ΄Π°Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρƒ, рассчитали, ΠΊ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ это Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚, ΠΈ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Π΅Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ‚вия ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π»ΠΈ это, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π’Π°ΡˆΠ° тСория ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°? НСт, просто-напросто это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π’Π°ΠΌ Π½Π΅ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ».

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Если ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ уравнСния, ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌΡƒΡŽ систСму, Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚ΠΎ Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°ΠΆΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π°. ΠžΠ±Ρ‰Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС — использованиС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ Π±Π°ΡΠΊΠ΅Ρ‚болистС Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ модСль, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Ρ‚ Π±Π°ΡΠΊΠ΅Ρ‚Π±ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ мяча, Π±Ρ€ΠΎΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ³Ρ€ΠΎΠΊΠΎΠΌ Π² Π±Π°ΡΠΊΠ΅Ρ‚Π±ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Ρƒ.

МодСль Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡ‚ΡŒ:

Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ мяча Π² Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ;

ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ попадания мяча Π² ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Ρƒ послС броска ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ….

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅:

  • — ΠΌΠ°ΡΡΠ° ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΡƒΡ мяча ;
  • — Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (x0, y0), Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» броска мяча a0;
  • — ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° (x, y) ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΡƒΡ R ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρ‹:

  • — ΠΌΡΡ‡ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ массой, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ совпадаСт с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ масс мяча;
  • — Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ происходит Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ сил тяТСсти с ΠΏΠΎΡΡ‚оянным ускорСниСм свободного падСния g ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся уравнСниями классичСской ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°;
  • — Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ мяча происходит Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости, пСрпСндикулярной повСрхности Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…одящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ броска ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Ρ‹;
  • — ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Π³Π°Π΅ΠΌ сопротивлСниСм Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡ…Π° ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡƒΡ‰Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, Π²Ρ‹Π·Π²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ собствСнным Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ мяча Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс.

Π‘ ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ постановку Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎ Π±Π°ΡΠΊΠ΅Ρ‚болистС Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ двиТСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ массой ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм силы тяТСсти, Ссли извСстны Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ, Π΅Π΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» бросания. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ броска, Π³Π΄Π΅ опрСдСляСтся ΠΈΠ· ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ:, , .

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, поиск Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ сводится ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡŽ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… зависимостСй искомых Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΎΡ‚ ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ постановка А) ВСкторная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°.

Найти зависимости ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΠ· Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
(2.1).

(2.1).

ΠΏΡ€ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условиях:

(2.2).

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΊΠ°ΠΊ.

(2.3).

Π³Π΄Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… условий.

, .

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π‘) ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Найти зависимости, ΠΈ, ΠΈΠ· Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

(2.5).

(2.5).

ΠΏΡ€ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условиях:

(2.6).

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΊΠ°ΠΊ.

(2.7).

Π³Π΄Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… условий.

(2.8).

Из ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (2.5) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ.

(2.9).

ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Π°Π½Ρ‚Ρ‹ интСгрирования Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий (2.6). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

(2.10).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ для простоты, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ броска мяч находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ с ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚. Π΅.

. (2.11).

Под Π΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ броска Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ расстояниС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ мяч ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ броска Π΄ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ с Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Ρ‹.

Из ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (2.10) для ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ условий (2.11), Π΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ броска выразится ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

(2.12).

(2.12).

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ броска с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ (2.7) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π°.

(2.13).

НапримСр, ΠΏΡ€ΠΈ броскС мяча со ΡˆΡ‚Ρ€Π°Ρ„Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ исходныС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅:

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· (2.12) ΠΈ (2.13) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ L = 4,225 ΠΌ; = 0 ΠΌ.

РСализация ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π΅.

1) НазваниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Ρ‚ Π±Π°ΡΠΊΠ΅Ρ‚Π±ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ мяча, Π±Ρ€ΠΎΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ³Ρ€ΠΎΠΊΠΎΠΌ Π² Π±Π°ΡΠΊΠ΅Ρ‚Π±ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Ρƒ.

НазваниС ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Basketball.

Π―Π·Ρ‹ΠΊ программирования Fortran.

ΠšΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€ IBM PC Pentium.

2) ОписаниС ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡΡ матСматичСская постановка Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

3) Π’Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π’Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ радиус ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠ° мяча, Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΡƒΠ³ΠΎΠ» бросания, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Ρ‹.

4) Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅.

ВраСктория Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° мяча, расчСтная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ броска.

5) Ошибки.

ΠŸΡ€ΠΈ Π²Π²ΠΎΠ΄Π΅ исходных Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡƒΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ:

всС Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ значСния Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹;

ΡƒΠ³ΠΎΠ» бросания Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΡ‚ 5 Π΄ΠΎ 85 градусов;

Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ мяча Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 30 ΠΌ/с;

Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Ρ‹ большС Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ мяча.

6) ВСстовыС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Под Π°Π΄Π΅ΠΊΠ²Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ соотвСтствия Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ экспСримСнта ΠΈΠ»ΠΈ тСстовой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° № 2. ΠžΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 1.

МодСль двиТСния Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ Π›ΠΎΠ΄ΠΊΡƒ ΠΎΡ‚Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ Π±Π΅Ρ€Π΅Π³Π° ΠΈ, Ρ€Π°Π·ΠΎΠ³Π½Π°Π², отпустили ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ скорости. НСобходимо ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π³Ρ€Π°Ρ„ичСском Π²ΠΈΠ΄Π΅.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

РассматриваСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ Π² Π²ΠΎΠ΄Π΅ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм силы тяТСсти, Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π²Ρ‹Ρ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ силы ΠΈ ΡΠΈΠ»Ρ‹ сопротивлСния двиТСнию, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρƒ масс. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠ° дСрТится Π½Π° ΠΏΠ»Π°Π²Ρƒ (Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ отсутствуСт), Ρ‚ΠΎ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ²Π° Π²Ρ‹Ρ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сила ΡƒΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ силу тяТСсти .

Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΡƒ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… прСдполоТСниях:

  • 1. ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ исслСдования являСтся Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠ°, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости.
  • 2. Π›ΠΎΠ΄ΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ Π·Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ массы, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ совпадаСт с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ масс.
  • 3. Π”Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы сил подчиняСтся основному ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ (Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°).
  • 4. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° силы сопротивлСния Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ прямо ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° скорости Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ:, Π³Π΄Π΅ — коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ (Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° постоянная).

ВрСбуСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ичСски ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ эту Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° № 3 Π”Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сил.

ВрСбуСтся ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ двиТСния космичСского корабля Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹. Масса, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ корабля извСстны.

ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для модСлирования ΠšΠΎΡΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π°Π±Π»ΡŒ массой двиТСтся ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм силы притяТСния, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΌΡƒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρƒ. ВрСбуСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° скорости космичСского корабля ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ двиТСния.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ выполняСм ΠΏΡ€ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… допущСниях:

ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ исслСдования являСтся космичСский ΠΊΠΎΡ€Π°Π±Π»ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π·Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ;

ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ корабля;

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ корабля происходит Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΠ΅Ρ‚ся основному ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ (Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°): ;

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° (ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ) силы притяТСния ΠΊ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρƒ опрСдСляСтся Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ всСмирного тяготСния, Π³Π΄Π΅ — гравитационная постоянная, — расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ массой ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ притяТСния, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ массу .

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ постановка Найти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Коши для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

(1).

(1).

ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условиях.

.

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΈ ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°Ρ Π² (1) массу корабля, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ с ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… разностСй.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… разностСй — ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ извСстный ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ интСрполяции. Π•Π³ΠΎ ΡΡƒΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов уравнСния Π½Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚Π½Ρ‹Π΅ коэффициСнты, Ρ‡Ρ‚ΠΎ позволяСт свСсти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ разностного Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π°, Ρ‚. Π΅. ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ-Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ схСму.

Π’Π°ΠΊ, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π² ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ (ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ-Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ схСму) ПослСднСС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ носит Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ-разностного уравнСния, Π° Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ соотвСтствуСт ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.

Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π°ΠΌΠΈ:

(2).

(2).

Из ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы разностных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ скорости ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡ:

(3).

(3).

Анализ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² На Ρ€ΠΈΡ. 2 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ двиТСния космичСского Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (3) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… скоростях.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ расчСтов принято: (масса Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ), космичСский ΠΊΠΎΡ€Π°Π±Π»ΡŒ находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

ΠΠ°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π° ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ. Π¨Π°Π³ интСгрирования Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 0,01 с.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ радиус Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ R Ρ€Π°Π²Π΅Π½, ускорСниС свободного падСния оцСниваСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 9,81 ΠΌ/с2 (ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния); для ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Ρ‹, находящСйся Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π° Π²Ρ‹ΡΠΎΡ‚Π΅, пСрвая ΠΈ Π²Ρ‚орая космичСскиС скорости соотвСтствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹:

.

Π’Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ двиТСния космичСского корабля ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… скоростях.

Рис 2. Π’Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ двиТСния космичСского корабля ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… скоростях: (a), (Π±), (Π²) ΠΈ (Π³); Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°Ρ…; ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° № 4.

Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹ Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π²Π΅Π·Π΄. ΠœΠ°ΡΡΡ‹ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹, Π·Π²Π΅Π·Π΄, ΠΈΡ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈ извСстны.

ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ постановка ΠŸΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Π° массой двиТСтся ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм сил притяТСния ΠΈ Π·Π²Π΅Π·Π΄ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмы. ПолоТСния ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΡ‹ Π·Π²Π΅Π·Π΄ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствСнно. ВрСбуСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ Π΅Π΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ выполняСм ΠΏΡ€ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… допущСниях:

ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ исслСдования являСтся ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Π°, принимаСмая Π·Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ;

ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹;

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹ происходит Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΠ΅Ρ‚ся основному ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ (Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°): ;

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° (ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ) силы притяТСния ΠΊ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρƒ Π·Π²Π΅Π·Π΄Ρ‹ опрСдСляСтся Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ всСмирного тяготСния, Π³Π΄Π΅ — гравитационная постоянная, r — расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π·Π²Π΅Π·Π΄Ρ‹.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ постановка Найти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Коши для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

(1).

(1).

Π³Π΄Π΅.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условиях.

(2).

РСшСниС Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ числСнный ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄. ЗамСняСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ разностным Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ систСму разностных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

(3).

(3).

Анализ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π’Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ двиТСния ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹ Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π²Π΅Π·Π΄ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… исходных Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4. ЗначСния исходных Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… систСм. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ расчСтов ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ (3) принято, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ притяТСния, находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ притяТСния располоТСн Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Π° находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ. Π¨Π°Π³ интСгрирования ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°Ρ… принят Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ .

РассмотрСны ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ двиТСния ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹:

М1 = 2 * 1023 ΠΊΠ³, М2 = 2 * 1023 ΠΊΠ³, vx0 = 1,2 * 103 ΠΌ/с (рис. 4Π°);

М1 = 5 * 1022 ΠΊΠ³, М2 = 2,5 * 1023 ΠΊΠ³, vx0 = 1,25 * 103 ΠΌ/с (рис. 4Π±);

М1 = 2 * 1024 ΠΊΠ³, М2 = 2 * 1024 ΠΊΠ³, vx0 = 6 * 103 ΠΌ/с (рис. 4Π²);

М1 = 2 * 1024 ΠΊΠ³, М2 = 2 * 1024 ΠΊΠ³, vx0 = 5 * 103 ΠΌ/с (рис. 4Π³).

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сил оказываСтся Π² Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стСпСни нСустойчивым. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ нСбольшиС измСнСния исходных Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… приводят ΠΊ ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ измСнСнию Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π° двиТСния ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹ (сравнитС рис. 4Π° ΠΈ 4Π±, 4 Π’ ΠΈ 4Π³).

НСкоторыС Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ двиТСния ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹ Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ дСйствия Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сил.

Рис. 4. НСкоторыС Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ двиТСния ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹ Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ дСйствия Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сил.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° № 5. ГармоничСский осциллятор Π’Π΅Π»ΠΎ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π΅ Π½Π° Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости, ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΎ ΠΊ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ стСнС ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π°. Масса Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈ ΠΆΠ΅ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ извСстны.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ прСдполоТСния:

  • 1) ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ исслСдования являСтся ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ двиТущССся Ρ‚Π΅Π»ΠΎ массой, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π·Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ;
  • 2) Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° подчиняСтся Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°;
  • 3) Ρ‚Π΅Π»ΠΎ находится ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… сил: силы тяТСсти, Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ повСрхности ΠΈ ΡΠΈΠ»Ρ‹ упругости ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гладкая, Ρ‚ΠΎ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ трСния ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Π³Π°Π΅ΠΌ;
  • 4) Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ прямолинСйныС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ двиТСния, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ сила тяТСсти ΡƒΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ силой Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ повСрхности ;
  • 5) Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ состоянии Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс Ρ‚Π΅Π»Π° находится Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ;
  • 6) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΌ растяТСнии ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π² Π½Π΅ΠΉ силы упругости ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ (Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π“ΡƒΠΊΠ°), Π³Π΄Π΅ — растяТСниС ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ (ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ равновСсия), — ΠΆΠ΅ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹. НаправлСна сила Π² ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρƒ полоТСния равновСсия;
  • 7) принимая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρƒ растянули Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ ΡΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π΅Π»Ρƒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, трСбуСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ постановка Π‘ ΠΌΠ°Ρ‚СматичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Коши с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ условиями:

(19).

(19).

(20).

ВрСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

РСшСниС.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, принимая, ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (19) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

(21).

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π³Π΄Π΅ — ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ частоты свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ полоТСния равновСсия. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ выраТаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ частоту .

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (21) называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ гармоничСскиС колСбания. РСшСниС Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния с ΠΏΠΎΡΡ‚оянными коэффициСнтами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

Π³Π΄Π΅ — Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, — Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, опрСдСляСмыС ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий.

Из ΡΡ‚ΠΈΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈ :

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

РСшСниС рассматриваСмой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ числСнно, замСняя ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ разностными Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…одя ΠΊ ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ разностных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

Анализ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ².

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ расчСтов.

ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

На Ρ€ΠΈΡ. 8 ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ числСнныС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ опрСдСлСния полоТСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΡˆΠ°Π³Π°Ρ… интСгрирования. Π’ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ с ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ значСния, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ числСнных расчСтах, стрСмятся ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ.

ВлияниС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ шага ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Рис. 8. ВлияниС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ шага ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π˜Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ числСнный способ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ позволяСт Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ силы упругости ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ растяТСния. На Ρ€ΠΈΡ. 9 прСдставлСны Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ числСнного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ рассмотрСнной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… зависимостСй силы ΠΎΡ‚ Ρ€Π°ΡΡ‚яТСния, приводящих ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ систСмам разностных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

(Π·Π½Π°ΠΊ модуля использован для ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚Π° направлСния дСйствия силы Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π΅Π»Π°) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠΏΡ€ΠΈ. Π–Π΅ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»Π°ΡΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ .

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 9, ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… гармоничСских колСбаниях Ρ‚Π΅Π»Π° Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ… рассмотрСнных случаях. ΠŸΡ€ΠΈ этом с ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ показатСля стСпСни ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ растяТСния ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ происходит ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ частоты ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

ВлияниС Π²ΠΈΠ΄Π° зависимости силы ΠΎΡ‚ растяТСния ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π° колСбания Ρ‚Π΅Π»Π°.

Рис. 9 ВлияниС Π²ΠΈΠ΄Π° зависимости силы ΠΎΡ‚ Ρ€Π°ΡΡ‚яТСния ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡ Ρ‚Π΅Π»Π°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ интСрСс прСдставляСт Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· зависимости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ΅ΠΉ. Для этого ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ графичСскоС прСдставлСниС процСсса Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ «ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ — ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ». Для этого прСдставим Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» (слоТСниС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ) ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ эллипса Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ .

На Ρ€ΠΈΡ. 10 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ числСнно Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… рассмотрСнных Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ зависимости сил упругости ΠΎΡ‚ ΡƒΠ΄Π»ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½.

Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°Ρ… упругости.

Рис. 10. Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°Ρ… упругости

(1:; 2: 3:).

УслоТним Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ силы сопротивлСния двиТСнию. Вакая ситуация Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π°, Ссли Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠ³Ρ€ΡƒΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ (рис. 11Π°) ΠΈΠ»ΠΈ Ссли Π² Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ схСму Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ масляный Π΄Π΅ΠΌΠΏΡ„Π΅Ρ€, гасящий колСбания (рис.11Π±). Π’ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ случаС вязкоС масло ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π½ΠΈΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° создаСт Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ сопротивлСниС двиТСнию.

НаличиС сил вязкого трСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…одимости добавлСния Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ постановкС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

Π‘ΠΈΠ»Π° вязкого трСния прямо ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° скорости Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² направлСния Π΅Π³ΠΎ двиТСния: (- коэффициСнт сопротивлСния, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° постоянная).

Π‘Ρ…Π΅ΠΌΡ‹ конструкций с вязкими срСдами.

Рис. 11. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΡ‹ конструкций с Π²ΡΠ·ΠΊΠΈΠΌΠΈ срСдами: ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ (Π°); масляным Π΄Π΅ΠΌΠΏΡ„Π΅Ρ€ΠΎΠΌ (Π±).

Π‘ ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρ‹, ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (19) Π² ΠΌΠ°Ρ‚СматичСской постановкС слСдуСт Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ уравнСниями ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

.

Π³Π΄Π΅ ,.

БистСму разностных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

На Ρ€ΠΈΡ. 12 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ измСнСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ для условий (большоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ коэффициСнта сопротивлСния Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½ΠΎ для наглядности Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ²), шаг интСгрирования t = 10−5 с.

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° (Π°) ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Π±) Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс Ρ‚Π΅Π»Π° Π² вязкой срСдС.

Рис. 12. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° (Π°) ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Π±) Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс Ρ‚Π΅Π»Π° Π² Π²ΡΠ·ΠΊΠΎΠΉ срСдС.

На Ρ€ΠΈΡ. 13 прСдставлСна фазовая траСктория для Ρ‚Π΅Π»Π°, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ колСбания Π² Π²ΡΠ·ΠΊΠΎΠΉ срСдС. Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ сопротивлСния (диссипации мСханичСской энСргии) ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ фазовая траСктория оказываСтся ΡΠΏΠΈΡ€Π°Π»ΡŒΡŽ с ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ радиусом, стрСмящимся ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ соотвСтствуСт ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ остановкС мСханичСской систСмы.

Ѐазовая траСктория двиТСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² вязкой срСдС.

Рис. 13. Ѐазовая траСктория двиТСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Π²ΡΠ·ΠΊΠΎΠΉ срСдС.

Π’Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ колСбания Рассмотрим ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊ Ρ‚Π΅Π»Ρƒ (рис.11) ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ гармоничСская сила, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ измСняСтся ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ с Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΉ частотой. БистСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прСобразуСтся Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

БистСма разностных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

На Ρ€ΠΈΡ. 14 прСдставлСна ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… колСбаниях ΠΊΠ°ΠΊ функция Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ вычислСний принято: (Π±Π΅Π· ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚Π° вязкости), .

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… колСбаниях с частотами (a), (Π±), (Π²) ΠΈ.

Рис. 14. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… колСбаниях с Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚Π°ΠΌΠΈ (a), (Π±), (Π²) ΠΈ .

Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… колСбаниях Ρ‚Π΅Π»Π° с частотой (a), (Π±), (Π²) ΠΈ (Π³).

Рис. 15. Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… колСбаниях Ρ‚Π΅Π»Π° с Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ (a), (Π±), (Π²) ΠΈ (Π³).

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° (Π°) ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Π±) ΠΊΠ°ΠΊ функция Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, фазовая траСктория (Π²) двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… колСбаниях Π² вязкой срСдС.

Рис. 16. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° (Π°) ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Π±) ΠΊΠ°ΠΊ функция Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, фазовая траСктория (Π²) двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… колСбаниях Π² Π²ΡΠ·ΠΊΠΎΠΉ срСдС.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° № 6 ΠΎΠ± ΠΎΡΡ‚Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ„Π΅ ΠŸΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π° пСрСноса Ρ‚Π΅ΠΏΠ»Π° ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ„Π΅ ΠΊ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ пространству слоТна ΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² ΡΠ΅Π±Ρ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ΠΊΠΎΠ½Π²Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, излучСния, испарСния ΠΈ Ρ‚Сплопроводности. Π’ Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ срСдой Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠ°, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ этой разности Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€.

Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ строго ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΡΠ·Ρ‹ΠΊΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

— Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ тСплопроводности ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° Π³Π΄Π΅ — Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° Ρ‚Π΅Π»Π°, — Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ срСды, r — «ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ остывания».

«ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ остывания» зависит ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°, находящСгося Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π°ΠΊΡ‚Π΅ со ΡΡ€Π΅Π΄ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… свойств самого Ρ‚Π΅Π»Π°.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ процСссов, происходящих Π² ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅, ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ уравнСниями, Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ эти уравнСния.

Рассмотрим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка Π²ΠΈΠ΄Π°.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ аналитичСского Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚.

Алгоритм Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° Π’ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ числСнного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² ΡΠ΅Π±Ρ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ-разностноС.

ΠŸΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ПолоТим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ описываСт ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π±Π»ΠΈΠ·Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ссли ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΌΠ°Π»ΠΎ.

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния, постоянна Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚ Π΄ΠΎ .

Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ опрСдСляСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ — ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… (ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°).

Π’ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π΅ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚ Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚оянна, Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ вычисляСтся Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

ГрафичСская интСрпрСтация ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

c Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ условиСм Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Находим ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° число шагов Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ .

Если послС ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… вычислСний окаТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ выбранная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° приращСния слишком Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠ°, Π½Π°ΠΌ придСтся ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ вычислСния с ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ .

ΠŸΠΠ”Π•ΠΠ˜Π• Π’Π•Π›.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠžΠΏΡ‹Ρ‚Ρ‹ ГалилСя с ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ Π“Π°Π»ΠΈΠ»Π΅ΠΉ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ выяснил, Ρ‡Ρ‚ΠΎ тяТСлыС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π²Π½ΠΈΠ· Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ быстро, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΈΠ΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ это ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π“Π°Π»ΠΈΠ»Π΅ΠΎ Π“Π°Π»ΠΈΠ»Π΅ΠΉ сбрасывал с ΠŸΠΈΠ·Π°Π½ΡΠΊΠΎΠΉ башни Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΡƒΡˆΠ΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ядро массой 80 ΠΊΠ³ ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΡƒΡŽ ΠΌΡƒΡˆΠΊΠ΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡƒΠ»ΡŽ массой 200 Π³. ΠžΠ±Π° Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π»ΠΈ Π·Π΅ΠΌΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. Π”ΠΎ Π½Π΅Π³ΠΎ господствовала Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° зрСния АристотСля, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ с Π²Ρ‹ΡΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Π΅Π΅ тяТСлых.

Рассмотрим ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, для описания ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° пространствСнная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°.

Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΡΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ:

(1).

(1).

(2).

(2).

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ двиТСния ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°:

(3).

(3).

Π³Π΄Π΅ — Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ сила, — инСртная масса.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС сила зависит ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, скорости ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Для описания двиТСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка (1) ΠΈ (2).

УравнСния (1) ΠΈ (2) ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’ ΠΎΡ‚сутствиС сопротивлСния Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡ…Π° всС Ρ‚Π΅Π»Π° нСзависимо ΠΎΡ‚ ΠΈΡ… ΠΌΠ°ΡΡΡ‹, Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π° Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΌ расстоянии ΠΎΡ‚ Π·Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ускорСниС. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ сопротивлСниСм Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡ…Π° ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Π³Π°ΡŽΡ‚, называСтся «ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ».

g = 9.8 м/с2 .

(4).

(4).

(5).

(5).

Π’ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ тяготСния, сила ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π° Ρ‚Π΅Π»ΠΎ массой Ρ€Π°Π²Π½Π°:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

(6),.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π³Π΄Π΅ — расстояниС ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ, — радиус Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ, — постоянная всСмирного тяготСния, — масса Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ, .

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ являСтся ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ тормозящСй силы, обусловлСнной сопротивлСниСм Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡ…Π°. НаправлСниС этой тормозящСй силы Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ скорости двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π°.

Рассмотрим сначала ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Вормозящая сила Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π° Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ΅. ΠŸΠΎΠ»Π½ΡƒΡŽ силу, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

(7).

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ эмпиричСски, проводя ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΡΠ΅Ρ€ΠΈΡŽ наблюдСний полоТСния Ρ‚Π΅Π»Π°.

  • 1 способ: ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ зависимости скорости ΠΈ ΡƒΡΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.
  • 2 способ: для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ прСдполагаСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ зависимости ΠΎΡ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΈ ΡΡ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для нахоТдСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Если значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΡƒΡŽΡ‚ΡΡ с ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ считаСтся ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

НаиболСС ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌΠΈ зависимостями силы сопротивлСния ΠΎΡ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ.

(8Π°).

(8Π±).

ΠΈ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ‚ ΠΎΡ‚ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π² срСды ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°.

Π’Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ, сущСствуСт ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ²ΡˆΠ°ΡΡΡ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π­Ρ‚Ρƒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΠ· (7) ΠΈ (8).

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
(9).

(9).

соотвСтствСнно для Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ случаСв.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ (8) ΠΈ (9), Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ для Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ случаСв:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ силу, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ аналитичСски Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ уравнСния двиТСния (10).

(10).

с Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ силой, опрСдСляСмой Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ, ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌ.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° просто обобщаСтся Π½Π° ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка.

  • 1. пСрСписываСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (10) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ систСмы Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка.
  • 2. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·? t ΡˆΠ°Π³ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ tn, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ n-ΠΌΡƒ ΡˆΠ°Π³Ρƒ, Ρ€Π°Π²Π΅Π½

(11).

3. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·, ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ ускорСния, скорости ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π° n-Π½ΠΎΠΌ шагС,.

.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

(12).

(12).

Π³Π΄Π΅ — ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° вычисляСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ скорости Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ этого ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°.

Аналогично — ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° вычисляСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ числСнного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся СдинствСнным.

НапримСр, ΠΎΠ΄Π½ΠΎ простоС ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (12) состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· — ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°, Π° Π½Π΅ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

(13).

(13).

ЧислСнноС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° БущСствуСт нСсколько ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ-разностных ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ двиТСния ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° с Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ силами.

!!! Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎΠ΅ использованиС числСнного ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° опрСдСляСтся Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌ, насколько Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ шагС, Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ, насколько Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΎΠ½ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹ двиТСния, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ², ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² Π½Π°ΡΡ‚оящСС врСмя, ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²ΠΎΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌ всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅.

Рассмотрим ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ частицы ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ уравнСния ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

(1).

(1).

(2).

(2).

ЦСлью всСх ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ-разностных ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² являСтся вычислСниС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π² «Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ пространствС») Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ .

!!! Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ шага Π½Π°Π΄ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ интСгрирования ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π» устойчивоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Один ΠΈΠ· ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ устойчивости ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ энСргии ΠΈ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΡΠ»Π°ΡΡŒ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° полная энСргия сохраняСтся.

Достаточно большоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ шага ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π½Π΅ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ энСргии ΠΈ Π½Π΅ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ для ΠΈ, Ρ‚. Π΅. ΠΊ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ числСнным Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ всС большС ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ с Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π‘ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, разлагая.

ΠΈ Π² Ρ€ΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ.

(3).

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠΈ (4).

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ извСстный ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° эквивалСнтСн ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² (3)-(4) Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² :

(5) ΠΈ.

(6).

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π»ΠΈ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… (5)-(6) Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ порядка, Ρ‚ΠΎ «Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ» ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡˆΠ°Π³Π΅) составляСт Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ. Однако ΠΎΡ‚ ΡˆΠ°Π³Π° ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ°ΠΏΠ»ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, поэтому ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ «Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ» ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ собой ΡΡƒΠΌΠΌΠ°Ρ€Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π° Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ .

Π­Ρ‚Π° ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ число шагов, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ разбиваСтся Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π», ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ .

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, порядок глобальной ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ увСличиваСтся Π² Ρ€Π°Π· ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° являСтся асиммСтричным, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ шаг, Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°!

Для ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Ρ‹ излоТСния ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°-ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ «ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅»:

(7).

(8).

ΠŸΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉ, самый ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ ΡƒΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° состоит Π² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ для вычислСния Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ срСднСй Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ скорости.

Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

(9).

(10).

(10).

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (9) для Π² (10), Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ — ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка точности ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка точности ΠΏΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈ. Π₯отя ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΡ€Π΅Π΄Π½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ для случая постоянного ускорСния, Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°.

На ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΎΠ±Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ шагом ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡˆΠ°Π³Π° относится ΠΊ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокого порядка точности с ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ срСдняя ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ скорости Π² ΡΠ΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡˆΠ°Π³Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

(12Π°).

(12Π±) Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡˆΠ°Π³Π° Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся «ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚Π°Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ», Ρ‚. Π΅. Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (12) Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ нСудобство ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ΄ΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ².

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

(12Π²) ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡˆΠ°Π³Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ΅ распространСниС Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅.

Один ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ извСстных Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ² высокого порядка приписываСтся Π’Π΅Ρ€Π»Π΅.

По Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с (3−4) запишСм Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ€ΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° для :

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Если ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ (3)-(4) ΠΈ (12) соотвСтствСнно, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ.

(14).

Или (15).

Аналогично Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ€ΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° для ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

(15Π±) ΠŸΡ€ΠΈ этом связанная с Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠΌ Π’Π΅Ρ€Π»Π΅ (15) глобальная ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ порядок для ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ порядок для скорости.

Однако ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΡƒΡ‡Π°ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ двиТСния.

Π’ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ ΠΏΠΎ Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Π’Π΅Ρ€Π»Π΅ называСтся «Π½Π΅ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ симмСтричной разностной схСмой».

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½Π΅Ρ‚ накоплСния ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ округлСния, присущСй Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡƒ Π’Π΅Ρ€Π»Π΅, Π‘ΠΈΠΌΠ°Π½Π° ΠΈ Π¨ΠΎΡ„ΠΈΠ»Π΄Π°.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Π‘ΠΈΠΌΠ°Π½Π° Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

(21Π°).

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

(21Π±) Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ расчСта Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΡΡ…Π΅ΠΌΠ΅ (21) Π½Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ Π² Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ΅ Π’Π΅Ρ€Π»Π΅. Π•Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΈΠΌΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉ, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ сохраняСт ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Π ΡƒΠ½Π³Π΅ — ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ условиСм, .

Π’ ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚ности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x0 Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π² Ρ€ΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

.

ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ для ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ опрСдСлСния искомой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Для ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° интСгрирования Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ большСС количСство Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ряда. Однако ΠΏΡ€ΠΈ этом Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ аппроксимации ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹Ρ… частСй Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. Основная идСя ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π ΡƒΠ½Π³Π΅-ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [x0, x0+h], ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ наибольшСй близости Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ° ΠΊ Ρ€ΡΠ΄Ρƒ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°. Π’ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ряда, построСны Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ схСмы Π ΡƒΠ½Π³Π΅-ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… порядков точности.

Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, общая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π ΡƒΠ½Π³Π΅ — ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ:

(8.19).

(8.19).

РСшСниС ΠžΠ”Π£, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΡ‚ΠΎΠΉ схСмС ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ .

Для ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ значСния.

ΠΈ.

Рассмотрим ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π ΡƒΠ½Π³Π΅ — ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка.

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (8.19) ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

(8.20).

(8.20).

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (8.20) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ схСмы:

.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

.

Π³Π΄Π΅ ,.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π ΡƒΠ½Π³Π΅ — ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка (1-Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚).

Π’ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π ΡƒΠ½Π³Π΅ — ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (8.19) ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

(8.21).

(8.21).

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (8.21) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ схСмы:

.

.

Π³Π΄Π΅ ,.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π ΡƒΠ½Π³Π΅ — ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка (2-ΠΎΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚).

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π ΡƒΠ½Π³Π΅ — ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Π ΡƒΠ½Π³Π΅ — ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ порядков ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ это дСлалось ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядков.

НС Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ эти Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ, Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ порядка, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΌΡ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² интСгрирования ΠžΠ”Π£. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ примСняСтся Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ просто называСтся «ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π ΡƒΠ½Π³Π΅ — ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π°» Π±Π΅Π· ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Ρ‚ΠΈΠΏ ΠΈ ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ классичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π ΡƒΠ½Π³Π΅ — ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π° описываСтся систСмой ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° Π±Π»ΠΎΠΊ-схСмС:

Π‘Π»ΠΎΠΊ-схСма ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π ΡƒΠ½Π³Π΅-ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π°.

Рис. 8.8 Π‘Π»ΠΎΠΊ-схСма ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π ΡƒΠ½Π³Π΅-ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π°

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ для Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условиях ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π ΡƒΠ½Π³Π΅-ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π°.

t1=10, N=1000.

z1=-3*y+cos (t)-exp (t).

z1=F1(t, x, y).

z2=4*y-cos (t)+2*exp (t).

z2=F2(t, x, y).

dt=(t1-t0)/N.

do i=0:N.

t (i+1)=t (i)+dt*i.

kx1=dt*F1(t (i), x (i), y (i)).

ky1=dt*F2(t (i), x (i), y (i)).

kx2=dt*F1(t (i)+dt/2,x (i)+kx½, y (i)+ky½).

ky2=dt*F2(t (i)+dt/2,x (i)+kx½, y (i)+ky½).

kx3=dt*F1(t (i)+dt/2,x (i)+kx2/2,y (i)+ky2/2).

ky3=dt*F2(t (i)+dt/2,x (i)+kx2/2,y (i)+ky2/2).

kx4=dt*F1(t (i)+dt, x (i)+kx3,y (i)+ky3).

ky4=dt*F2(t (i)+dt, x (i)+kx3,y (i)+ky3).

x (i+1)=x (i)+1/6*(kx1+2*kx2+2*kx3+kx4).

y (i+1)=y (i)+1/6*(ky1+2*ky2+2*ky3+ky4).

end do.

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•ΠΠ•ΠΠ˜Π• ΠœΠ•Π’ΠžΠ”Π РУНГЕ-КУВВА К Π—ΠΠ”ΠΠ§Π• О ΠŸΠΠ”Π•ΠΠ˜Π˜ Π’Π•Π›.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°: Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ .

РСшСниС:

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ систСмы Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π½.Ρƒ.: ,.

Алгоритм:

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

запишСм Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ условия.

.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ шаг ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ .

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ коэффициСнты ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π ΡƒΠ½Π³Π΅_ΠšΡƒΡ‚Ρ‚Π°:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ искомыС значСния скорости ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· коэффициСнты:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅, .

Π”Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π» Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ тяТСсти Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΡΠ½Π°Ρ€ΡΠ΄ дСйствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ сила тяТСсти, равная. Если ΠΏΡƒΡˆΠΊΠ° располоТСна Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (0, 0, 0), Ρ‚ΠΎ ΡΠ½Π°Ρ€ΡΠ΄ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, которая описываСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ уравнСниями:

Π³Π΄Π΅ — ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ снаряда вдоль ствола ΠΏΡƒΡˆΠΊΠΈ, — ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ стволом ΠΏΡƒΡˆΠΊΠΈ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚ΠΎΠΌ (ось X), — врСмя, — ускорСниС свободного падСния Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ тяТСсти Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ.

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ двиТСния снаряда:

Из ΡΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΡ‚Ρ€Π΅Π»ΡŒΠ±Ρ‹ (ΠΏΡ€ΠΈ этом) ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ высоту ΠΏΠΎΠ»Ρ‘Ρ‚Π° (пСрвая производная ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ):

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Из ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ максимальная Π΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Ρ‘Ρ‚Π° снаряда достигаСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΡΡ‚Ρ€Π΅Π»ΡŒΠ±Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ .

Π£Ρ‡Ρ‚Π΅ΠΌ силу сопротивлСния двиТСнию Рассмотрим ядро массой с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Ρƒ (рис Π°). На Π½Π΅Π³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ сила тяТСсти ΠΈ Ρ‚ормозящая сила, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ соотвСтствСнно ΠΈ, Π° Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ послСднСй ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ скорости (рис. Π±).

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° для ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ ΠΈ :

(15).

(15).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ максимальноС расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ бросания, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΠ»Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ ΠΏΡƒΡˆΠ΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ядро радиусом 4 ΡΠΌ.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΈ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ скорости .

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ, Π°, уравнСния (15) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

(16).

(16).

Π³Π΄Π΅. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ уравнСния (16), ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ измСнСния ΠΈ, содСрТат ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ скорости: .

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ силы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ зависимости силы сопротивлСния ΠΎΡ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ двиТСния ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°, Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ.

Π§Π˜Π‘Π›Π•ΠΠΠ«Π• ΠœΠ•Π’ΠžΠ”Π« Π Π•Π¨Π•ΠΠ˜Π― Π”Π˜Π€Π€Π•Π Π•ΠΠ¦Π˜ΠΠ›Π¬ΠΠ«Π₯ Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π™ Π’ Π§ΠΠ‘ВНЫΠ₯ ΠŸΠ ΠžΠ˜Π—Π’ΠžΠ”ΠΠ«Π₯ ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ сСток, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ тСплопроводности (ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°): ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условиях: ΠΈ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… условиях:, , Π³Π΄Π΅. РСшСниС Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ, для c Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€ΡŒΠΌΡ дСсятичными Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, считая .

РСшСниС.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ явной ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ-разностной схСмой, Ρ‚. Π΅. Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ слоС получаСтся сразу ΠΏΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡΠΌ сСточных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ слоС, Π³Π΄Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ извСстно. Она являСтся условно устойчивой. УсловиС, Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π½Π° ΡΠ΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ характСристики ΠΈ, состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ .

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Алгоритм ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° Π½Π° Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ слой с ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ явной схСмы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

nx=6.

sig=1/6.

delx=0.6 Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

h=delx/nx число ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ сСтки.

tau=h2*sig шаг ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ устойчивости.

delt=0.01 Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Nt=ceil (delt/tau) число шагов ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

d0 11 i=0, Nx Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ пространствСнно-Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ сСтки.

x (i)=i*h.

11 continue.

d0 12 i=0, Nt.

t (i)=i*tau.

12 continue.

>> do 111 i=0, Nx Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий.

tab (0,i)=(3*x (i)*(1-x (i)))+0.12.

111 continue.

>> do 112 j=0, Nt ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… условий.

tab (j, 0)=2*(t (j)+0.06).

tab (j, Nx)=0.84.

112 continue.

tab =.

  • 0.1200 0.3900 0.6000 0.7500 0.8400 0.8700 0.8400
  • 0.1233 0 0 0 0 0 0.8400
  • 0.1267 0 0 0 0 0 0.8400
  • 0.1300 0 0 0 0 0 0.8400
  • 0.1333 0 0 0 0 0 0.8400
  • 0.1367 0 0 0 0 0 0.8400
  • 0.1400 0 0 0 0 0 0.8400

% Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠ΅ΠΉΡΡ части ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

do 114 j=1, Nt.

do 115 i=1, Nx-1.

tab (j, i)=1/6*(tab (j-1,i-1)+4*tab (j-1,i)+tab (j-1,i+1));

  • 115 continue;
  • 114 continue

tab =.

  • 0.1200 0.3900 0.6000 0.7500 0.8400 0.8700 0.8400
  • 0.1233 0.3800 0.5900 0.7400 0.8300 0.8600 0.8400
  • 0.1267 0.3722 0.5800 0.7300 0.8200 0.8517 0.8400
  • 0.1300 0.3659 0.5704 0.7200 0.8103 0.8444 0.8400
  • 0.1333 0.3607 0.5612 0.7101 0.8009 0.8380 0.8400
  • 0.1367 0.3562 0.5526 0.7004 0.7920 0.8322 0.8400
  • 0.1400 0.3524 0.5445 0.6911 0.7834 0.8268 0.8400

% визуализация числСнного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (рис 16.1).

ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния тСплопроводности.

Рис. 16.1. ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния тСплопроводности

Аппроксимация ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ИдСя ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² (МНК) ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ А. Π›Π΅ΠΆΠ°Π½Π΄Ρ€Ρƒ, Π° Ρ‚СорСтичСскоС обоснованиС К.Гауссу. Π’ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с ΡΡ‚ΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ, ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΈΠ· ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ рассмотрСнной ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ часто Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΌΠΏΠΈΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Π΄Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ аналитичСскоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ зависимости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.

ΠžΠ±Ρ‰Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚Ρ‹ΠΌ ΠΈ Π²Π΅ΡΡŒΠΌΠ° эффСктивным ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ являСтся Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ согласования искомой ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ сводится ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ «ΡΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ» ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΎΡ‚ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ.

ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ прСдставлСны Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.

Если ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΠ΅Ρ‚ся нСсколько Ρ€Π°Π·, Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ замСняСтся срСдним арифмСтичСским Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

(1).

(1).

Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, зависящСй ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… числовых ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ², , ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ эти ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ‚рСбуСтся Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ согласно ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ Π±Ρ‹Π»Π° минимальна. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ², , :

(2).

ВрСбуСтся Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ, , Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ»ΠΎΡΡŒ условиС.

(3).

(3).

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅:

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅ Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ случаи, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… значСниях Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° вслСдствиС ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° диспСрсии Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹.

Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π·Π²Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ — вСса наблюдСний.

НайдСм значСния, , ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ выраТСния Π² ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ.

Для этого ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΠΎ, , ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

(4).

(4).

Π³Π΄Π΅.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

— Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ частной ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ,.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

— Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π°.

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму (4) Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ нСльзя, для этого Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

Рассмотрим Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° являСтся стСпСнным ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠΌ, Ρ‚. Π΅.

(5).

ΠŸΠΎΠ΄Π±ΠΎΡ€ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π’ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π΅ зарСгистрирована ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, .

ВрСбуСтся ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,.

(6).

ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Для ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ выраТСния:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для случая Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ приблиТСния сформулированная Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° сводится ΠΊ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ Π½Π° ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… .

Богласно систСмС (4), Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ условия экстрСмума Π΄Π°ΡŽΡ‚.

(9).

(9).

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Бокращая Π½Π° 2, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ систСму (9) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (4). Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ уравнСния (9) ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ.

(11).

(11).

РСшая систСму (11), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ.

(12).

(12).

(13).

(13).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΠΈΠ· Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (12) ΠΈ (13) искомыС ΠΈ, ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΌ самым ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ ΡΠΌΠΏΠΈΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (6).

(6).

ВСория Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΈΡΠΏΠ΅Ρ€ΡΠΈΡŽ отклонСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ Π΄ΠΈΡΠΏΠ΅Ρ€ΡΠΈΡŽ коэффициСнтов ΠΈ. Если — диспСрсия Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΈ — диспСрсия коэффициСнтов ΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°.

(14).

(14).

(15).

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
(16).

(16).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅:

Π”Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ описываСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. Однако Π² Ρ€ΡΠ΄Π΅ случаСв ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ нСслоТных ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ привСсти ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ.

БтСпСнная функция (гСомСтричСская рСгрСссия) НайдСм Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

(9).

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ равСнство (9) ΠΏΡ€ΠΈ условии.

(10).

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ функция являСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, функция Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· (10), Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚: .

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ.

(11).

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ равСнство (10) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

(12),.

Ρ‚.Π΅. Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° свСлась ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ. ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ для нахоТдСния искомой ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСнной (ΠΏΡ€ΠΈ сдСланных Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ прСдполоТСниях) Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

  • 1) ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ (1) ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, ΠΏΡ€ΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π² значСния ΠΈ Π² ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅;
  • 2) ΠΏΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° (12);
  • 3) ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ обозначСния (11), Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (9).

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ исходная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ цСлСсообразно ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

(13).

ΠŸΡ€ΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ равСнство (13):

(14).

ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΡΠ² обозначСния (11), ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ (14) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

(15).

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (13) Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΈ, рассматривая ΠΈΡ… ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡ‚Π½ΠΎ с ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ для Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²ΠΈΠ΄Π° (15). ВслСд Π·Π° ΡΡ‚ΠΈΠΌ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ (11) остаСтся ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ значСния искомых ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (13).

ЛогарифмичСская функция ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

(16).

Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ достаточно ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ подстановку. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для нахоТдСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π² ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΈ, рассматривая ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния Π² ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ с ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ для ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ. ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (16).

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° Если Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, построСнный ΠΏΠΎ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

(17).

(17).

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сдСлаСм подстановку .

(18).

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° (17) значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π² ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ слСдуСт Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числами ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ для Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ (18). ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (17).

ΠŸΠΎΠ΄Π±ΠΎΡ€ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π’ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π΅ зарСгистрированы значСния, свСдСнныС Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ. ВрСбуСтся ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ-ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка.

(17),.

сoΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ наблюдаСмой ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ зависимости.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΡΠΌΠΏΠΈΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

(18).

Для ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ выраТСния.

(19).

ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°.

(20).

(20).

НСобходимыС условия экстрСмума Π΄Π°ΡŽΡ‚.

(21).

(21).

БистСму (21) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ нСпосрСдствСнно Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, исходя ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ систСмы (4), с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ.

(22).

(22).

Аналогично Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ это сдСлано Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ систСму Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

(23).

(23).

РСшая систСму (23), Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ искомыС коэффициСнты ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ самым опрСдСляСм ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ ΡΠΌΠΏΠΈΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ².

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ своих Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ 2-ΠΎΠΉ стСпСни. Для этого вычислим коэффициСнты Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

Боставим Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ систСму Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², которая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

РСшСниС систСмы Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ находится:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 2-ΠΎΠΉ стСпСни Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½:

Бпособ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π½Π° Π²ΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° функция Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго аппроксимируСт Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π’ΠΈΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Ρ‚ΠΎ физичСских сообраТСний. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² позволяСт Π½Π°ΠΌ лишь Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ, какая ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΡΠΌΡ‹Ρ…, экспонСнт ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ» являСтся Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ΠΉ прямой, Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ΠΉ экспонСнтой ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ.

МоТно ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ лишь ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΡƒ опрСдСлСния стСпСни ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° Π²ΠΈΠ΄Π° ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ с Π²Ρ‹ΡΠΎΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни. Если эта ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ нСизвСстна, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стСпСни Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π² ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ…, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° исходныС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ содСрТат случайныС ошибки.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΠΏΡ€ΠΈ полиномиальной аппроксимации систСма Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

.

приводящая ΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌ алгСбраичСским ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌ, примСняСтся лишь ΠΏΡ€ΠΈ. Если, Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΎ обусловлСна, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вычислСнныС Π½Π° Π΅Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ искаТСнными ошибками округлСния.

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π΅ сглаТиваниС ошибок экспСримСнта ΠΏΡ€ΠΈ срСднСквадратичной аппроксимации Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°. Но Π΅ΡΠ»ΠΈ слишком ΠΌΠ°Π»ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Π΄Π»Ρ описания слоТной Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ зависимости коэффициСнтов ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ Ρ…Π²Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ. Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ случаС Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число коэффициСнтов. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠ½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

Π—Π°Π΄Π°Π²ΡˆΠΈΡΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ числом ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² согласно (5) ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ коэффициСнты, вычислим ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΡΠΏΠ΅Ρ€ΡΠΈΡŽ.

(6).

(6).

ΠΈ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠΌ Π΅Π΅ Ρ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ экспСримСнта ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ критСрия Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π° ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π΅ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠΈ объСмом ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствСнно случайных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ распрСдСлСниС. НСобходимо ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ равСнство ΠΈΡ… Π΄ΠΈΡΠΏΠ΅Ρ€ΡΠΈΠΉ. Бтатистика тСста.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π³Π΄Π΅ — диспСрсия.

Если вычислСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ критСрия большС критичСского для ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уровня значимости ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… чисСл стСпСнСй свободы для числитСля ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Сля, Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΡΠΏΠ΅Ρ€ΡΠΈΠΈ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ критСрия Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π° слСдуСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅, исходя ΠΈΠ· ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Ρ значимости ΠΈ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ свободы числитСля ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Сля .

Fkp = finv (,) — ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция Π² ΠœΠ°Ρ‚Π»Π°Π±, Π²Ρ‹Π·ΠΎΠ² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ критичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ критСрия Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π°.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ критСрия Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π° Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. ДиспСрсия Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ показатСля, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΡΡΠΎΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ для ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ составила 6,17 (n1=32), Π° Π΄Π»Ρ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΄ΠΆΠ΅Ρ€ΠΎΠ² 4,41 (n2=33). ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ диспСрсий ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ для Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΊ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ значимости 0,05.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π½Π° ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ вопрос ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ эмпиричСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ критСрия:. ΠŸΡ€ΠΈ этом критичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ критСрия .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,, поэтому Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²Π΅ диспСрсий Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ значимости 0,05 принимаСтся.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.
ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΊ Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ссли.

(7).

(7).

Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚СматичСская ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ аппроксимации (Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎ) большС физичСской ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ исходных Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (5) нуТдаСтся Π² ΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ, вычисляСм ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (5) коэффициСнты ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚оряСм ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ качСства аппроксимации согласно (6), (7).

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ расчСт Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ с, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° (ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ зависимости) нСравСнство (7) Π·Π°Π²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ, ΠΈ…

Для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° отыскания Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ интСрпрСтируСтся графичСски: ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ происходит пСрСсСчСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, стоящСй Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части уравнСния, с ΠΎΡΡŒΡŽ абсцисс. НапримСр, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния. Π’Π°ΠΊ, Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня — ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [-1, 0], Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ — [1, 2].

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.

ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ трансцСндСнтного уравнСния графичСски.

РСшСниС.

1. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°ΠΉΠ» Func. m, содСрТащий описаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π€Π°ΠΉΠ» Func.m.

function z=Func (x).

z=x.^2-sin (x)-1;

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [-2; 2], Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² Π² ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Π½ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ½Π΅ ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚Π° MATLAB ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:

>> x= -2:0.1:2;

>> plot (x, Func (x)); grid on.

3. Из Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° корня:

Ρ…1[-1; 0] ΠΈ Ρ…2 [1; 2].

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ дСлСния ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ изоляции корня Ρ…2 [1; 2] уравнСния Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 0,1.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π΄ΠΈΡ…ΠΎΡ‚ΠΎΠΌΠΈΠΈ (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ дСлСния) основан Π½Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ корня ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: Если нСпрСрывная ΠΈ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ³ΠΎ монотонная Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ функция Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, Ρ‚. Π΅., Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ имССтся ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Для Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ этого ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° выбираСтся Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ опрСдСляСтся Π·Π½Π°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ — сСрСдинС ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. Если ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π·Π½Π°ΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, Ссли ΠΆΠ΅ Π½Π΅Ρ‚ — Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .

РСшСниС.

1. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°ΠΉΠ» ChislOtd. m, содСрТащий описаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ изоляции корня ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡ…ΠΎΡ‚ΠΎΠΌΠΈΠΈ.

Π€Π°ΠΉΠ» ChislOtd.m.

function ChislOtd (f, x1, x2,h);

% f — имя m-Ρ„Π°ΠΉΠ»Π°, содСрТащСго описаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

% x1 — лСвая Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ производится поиск Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

% x2 — правая Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ производится поиск Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

% h — Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° изоляции корня.

a=x1;

b=x1+h;

while b<=x2.

if feval (f, a)*feval (f, b)<=0.

% feval (f, c) — ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ вычислСния Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ…=с значСния.

% Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, описаниС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ находится Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ„Π°ΠΉΠ»Π΅.

% Имя Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° хранится Π² ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ f.

a.

b.

end;

a=b;

b=b+h;

end;

2. НайдитС Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ изоляции корня:

>> ChislOtd ('Func', 1,2,0.1).

a =.

1.4000.

b =.

1.5000.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ изоляции корня.

[1,4; 1,5], ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ 0,1.

ΠžΠŸΠ Π•Π”Π•Π›Π•ΠΠ˜Π• ΠšΠžΠ ΠΠ•Π™ Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π™ Π‘ ΠžΠ”ΠΠžΠ™ ΠŸΠ•Π Π•ΠœΠ•ΠΠΠžΠ™ Π¦Π•Π›Π¬ Π ΠΠ‘ΠžΠ’Π« ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ студСнтам знания ΠΎΠ± ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Ρ… этапах Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния, Π²Ρ‹Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ использования Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² для уточнСния корня уравнСния.

ΠœΠ•Π’ΠžΠ”Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• Π Π•ΠšΠžΠœΠ•ΠΠ”ΠΠ¦Π˜Π˜.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ВсС числСнныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ приблиТСния ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ уравнСния. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, выбираСтся Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ ΠΈ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ гСнСрируСтся ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ сходящаяся ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ уравнСния .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ дСлСния с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 0,001 (ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ изоляции корня [1,4; 1,5]).

РСшСниС.

1. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°ΠΉΠ» Func. m, содСрТащий описаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π€Π°ΠΉΠ» Func.m.

function z=Func (x).

z=x.^2-sin (x)-1;

2. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°ΠΉΠ» Div2. m, содСрТащий описаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня уравнСния ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ дСлСния.

Π€Π°ΠΉΠ» Div2.m.

function Div2(f, x1, x2,esp);

% f — имя m-Ρ„Π°ΠΉΠ»Π°, содСрТащСго описаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

% x1 — лСвая Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ производится поиск Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

% x2 — правая Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ производится поиск Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

% eps — Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

L=x2-x1;

k=0;

% k — счСтчик количСства шагов приблиТСния ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ.

while L>esp.

c=(x2+x1)/2;

k=k+1;

if feval (f, c)*feval (f, x1)<0.

% feval (f, c) — ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ вычислСния Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ…=с значСния.

% Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, описаниС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ находится Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ„Π°ΠΉΠ»Π΅.

% Имя Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° хранится Π² ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ f.

x2=c;

else.

x1=c;

end;

L=x2-x1;

end;

x=c.

k.

fx=feval (f, c).

% fx — Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСвязки.

3. ВычислитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня уравнСния.

>> Div2('Func', 1.4,1.5,0.001).

x =.

1.4102.

k =.

fx =.

0.0014.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ…=1,4102 ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 0,001 Π·Π° ΡΠ΅ΠΌΡŒ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈ этом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСвязки fx = 0,0014.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 0,001 (ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ изоляции корня [1,4; 1,5]).

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ простой ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² нахоТдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π’ ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния:

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ арифмСтичСских ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ приводится ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ являСтся ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° примСнимости ΠΈ ΡΡ„фСктивности Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ способа прСобразования.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

НапримСр, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Π—Π°Π΄Π°Π²ΡˆΠΈΡΡŒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΈΠ· Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… сообраТСний физичСски Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ,…,.

НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° вычислСний для прСдставлСнных Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, начиная с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ приблиТСния.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‰ΠΈΡ… Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ достигаСтся ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ приблиТСния для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π° ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠΌ шагС ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρ‹, для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ — Π½Π° 115-ΠΌ (Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ). А Π²ΠΎΡ‚ для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ шагС вычислСния ΠΏΡ€Π΅ΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ арксинуса оказываСтся число, большСС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ (Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ).

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 3. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция g (x) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ всС Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΈ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ вСщСствСнноС число q, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, x, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ‚Срационная ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ сходится нСзависимо ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ приблиТСния ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся СдинствСнным ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ уравнСния Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π§Π΅ΠΌ мСньшС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ q, Ρ‚Π΅ΠΌ «Π±Ρ‹ΡΡ‚Ρ€Π΅Π΅» сходится итСрационная ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π‘Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ достаточно «Π±Ρ‹ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉ», Ссли .

РСшСниС.

1. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°ΠΉΠ» Func. m, содСрТащий описаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π€Π°ΠΉΠ» Func.m.

function z=Func (x).

z=x.^2-sin (x)-1;

2. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°ΠΉΠ» Func1. m, содСрТащий описаниС ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ .

Π€Π°ΠΉΠ» Func1.m.

function y=Func1(x).

y=sqrt (1+sin (x)).

3. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°ΠΉΠ» Iter. m, содСрТащий описаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня уравнСния ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ.

Π€Π°ΠΉΠ» Iter.m.

function Iter (f, x0, esp).

x1=Func1(x0);

k=1;

while abs (x1-x0)>esp.

x0=x1;

x1=Func1(x0);

k=k+1;

end;

x=x1.

k.

fx=feval (f, x1).

4. ВычислитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня уравнСния:

>> Iter ('Func', 1.4,0.001).

x =.

1.4076.

k =.

fx =.

— 0.0055.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ число Ρ…=1,4076, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 5 шагС. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСвязки fx = -0.0055.

РСшСниС алгСбраичСских ΠΈ Ρ‚рансцСндСнтных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΡ€Π΅Π΄Π΅ MATLAB осущСствляСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… встроСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: fzero ().

Ѐункция fzero () ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡŽ:

[x, f, e_flag, inform] = fzero ('f (x)', x0).

Π³Π΄Π΅:

x — искомоС нСизвСстноС;

f — Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСвязки;

e_flag — пСрСмСнная, Π·Π½Π°ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ корня Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, e_flag=1 — ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ сущСствуСт);

inform — содСрТит Ρ‚Ρ€ΠΈ поля с ΠΈΠΌΠ΅Π½Π°ΠΌΠΈ iterations (количСство ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ), funcCount (количСство ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x)), ΠΈ algorithm (Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ°, использованного для нахоТдСния корня;

'f (x)' - Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, записанноС Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°Π²Ρ‹Ρ‡ΠΊΠ°Ρ…;

x0 — Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» поиска Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.

НСобходимо Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния.

ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

.

Ссли извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ находятся Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… [-1, 0] ΠΈ [1, 2].

РСшСниС:

>> [x, f, e_flag, inform]=fzero ('x2-sin (x)-1',[-1, 0]).

x =.

— 0.6367.

f =.

e_flag =.

inform =.

iterations: 8.

funcCount: 8.

algorithm: 'bisection, interpolation'.

>> [x, f, e_flag, inform]=fzero ('x2-sin (x)-1',[1, 2]).

x =.

1.4096.

f =.

— 1.1102e-016.

e_flag =.

inform =.

iterations: 10.

funcCount: 10.

algorithm: 'bisection, interpolation'.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ