Основы теории четырехполюсников и многополюсников

Многополюсники и цепи с многополюсными элементами

анализа цепей с многополюсными элементами.

Известно два подхода к анализу цепей, содержащих многополюсные элементы (лампы, транзисторы, трансформаторы, интегральные микросхемы и др.).

Первый заключается в замене всех входящих в цепь элементов (в том числе и многополюсных) моделирующими цепями, составленными только из идеализированных двухполюсников, с последующим исследованием процессов в полученной идеализированной цепи с помощью рассмотренных ранее методов. Основной недостаток такого подхода заключается в том, что число неизвестных токов и напряжений моделирующей цепи может значительно превышать число интересующих реакций цепи — токов и напряжений на зажимах реальных элементов.

Второй подход заключается в представлении многополюсных элементов в виде многополюсников. (Аналогичным образом можно рассматривать не только отдельные многонолюсные элементы, но и любые участки цени, имеющие несколько выводов, с помощью которых они соединяются с остальной частью цепи.) Уравнения электрического равновесия идеализированных цепей, содержащих многополюсники, могут быть сформированы на основании соотношений, связывающих токи и напряжения на зажимах многополюсников, причем, как будет показано далее, число этих соотношений определяется только числом внешних выводов многополюсника и не зависит от его внутренней структуры. Очевидно, что такой подход дает возможность устранить из рассмотрения участки идеализированной электрической цепи, токи и напряжения которых не представляют интереса в рамках решаемой задачи, и, следовательно, существенно уменьшить число одновременно решаемых уравнений электрического равновесия. Для реализации такого подхода необходимо разработать методику получения соотношений, связывающих между собой токи и напряжения на зажимах многополюсников, и методику формирования уравнений электрического равновесия идеализированных цепей на основе этих соотношений. Решение указанных задач составляет основное содержание общей теории многополюсников, развитой главным образом в работах Ю. Т. Величко, Р. А. Воронова, Э. В. Зеляха, Г. Е. Пухова, В. П. Сигорского и В. И. Коваленкова. Рассматриваемые далее положения общей теории многополюсников в основном содержат результаты, полученные в работах Э. В. Зеляха и В. П. Сигорского.

Классификация и схемы включения многополюсников. Напомним (см. п. 1.4), что многополюсником называется участок идеализированной электрической цени, соединяющийся с остальной частью цепи с помощью нескольких внешних выводов (полюсов). Будем считать, что схема многополюсника и параметры входящих в него элементов известны, хотя эго в общем случае не является обязательным. Более того, теория многополюсников позволяет получать схемы замещения устройств, внутренняя структура которых неизвестна. О таких устройствах обычно говорят, что они представляются в виде «черного ящика». Ограничимся рассмотрением только линейных многополюсников, т. е. многополюсников, в состав которых не входят идеализированные нелинейные пассивные и активные элементы.

В соответствии с классификацией цепей (см. п. 1.5), многополюсники делятся на активные и пассивные. Пассивные многополюсники не содержат идеализированных активных элементов, активные включают в себя управляемые или неуправляемые идеализированные источники энергии. Установить, есть ли в рассматриваемом многополюснике некомпенсированные независимые источники тока или напряжения, можно путем измерений, производимых на внешних выводах многополюсника.

Если все выводы многополюсника, содержащего неуправляемые источники энергии, соединены между собой (закорочены), то токи, хотя бы части выводов, будут отличны от нуля. Если внешние выводы этого многополюсника находятся в режиме холостого хода, то напряжения хотя бы между некоторыми парами полюсов не будут равны нулю. Многополюсники, удовлетворяющие таким условиям, называются автономными. Если в состав многополюсника входят только идеализированные пассивные элементы или идеализированные пассивные элементы и управляемые источники, то токи короткого замыкания всех выводов многополюсника и напряжения холостого хода между его любыми полюсами равны нулю. Многополюсники такого типа называются неавтономными.

Таким образом, к неавтономным многополюсникам относятся все пассивные многополюсники, а также те активные многополюсники, которые не содержат неуправляемых источников тока или напряжения.

Анализ неавтономных многополюсников занимает особое место в теории цепей, так как большинство реальных многополюсных элементов, в частности электронные лампы и транзисторы, могут быть представлены как неавтономные многополюсники.

В зависимости от того, удовлетворяет или не удовлетворяет теореме взаимности исследуемый многополюсник, различают взаимные и невзаимные многополюсники. В соответствии с доказанной ранее теоремой взаимности (см. и. 4.2) любые линейные многополюсники, составленные только из идеализированных пассивных элементов, являются взаимными. Многополюсники, содержащие идеализированные управляемые источники, как правило, являются иевзаимными.

Трудоемкость анализа цепей, содержащих многополюсники, так же как и цепей, составленных только из идеализированных двухполюсных элементов, в значительной степени зависит от выбора системы независимых токов или напряжений. При описании процессов, протекающих в цепях с многополюсными элементами, в систему уравнений электрического равновесия включают только токи или напряжения, которые можно измерить на полюсах многополюсников, т. е. связанные с их внешними выводами.

Систему независимых токов и напряжений многополюсника можно выбрать различными способами в зависимости от схемы включения многополюсника, т. е. от того, каким образом он соединен с остальной частью цепи. Одна из возможных схем включения многополюсника была рассмотрена в п. 3.1, когда все внешние выводы были разбиты на пары, образующие стороны (порты) многополюсника. Многополюсник, полюсы которого разбиты на пары, образующие п сторон, называют п-сторонпим или 2п-полюсииком (рис. 7.1, а).

Рис. 7.1. Включение многополюсника в качестве 2 Хи- (а) и п + 1- (6) полюсников.

Внутри многополюсника отдельные полюсы могут быть соединены между собой так, что они являются общими для различных сторон многополюсника. Например, в многополюснике, схема которого была приведена на рис. 3.25, а, соединены между собой полюсы Г и 3', а также полюсы 1 и 2. Многополюсник, у которого один из полюсов является общим для всех п сторон, называется п + 1 -полюсником (рис. 7.1,б). Заметим, что представление многополюсника в виде 2Хп- или п + 1-полюсников не связано с его внутренней структурой, а определяется только способом соединения многополюсника с остальной частью цепи. Любой многополюсник может быть включен и как 2Хп-_У и как п + 1-полюсник. В качестве примера на рис. 7.2, а, б показано, как многополюсник с четырьмя внешними выводами (четырехполюсник) может быть включен как 2×2- или 3 + 1-полюсник.

Представление многополюсника в виде 2/?-полюсника обычно используют, если выводы многополюсника могут образовывать стороны только единственным образом. Если стороны могут быть выделены различными способами, то представление многополюсника в виде 2я-полюсника неудобно, гак как не позволяет простым способом переходить.

Рис. 7.2. Включение четырехполюсника в качестве 2X2- (а) и 3+1- (б) полюсников.

от системы уравнений, соответствующих одному сочетанию пар полюсов, к уравнениям для другого сочетания. Представление многополюсника в виде п + 1-полюсника также неуниверсально, поскольку один из его полюсов поставлен в неравноправное положение по отношению к другим.

Очевидно, что наиболее общий характер носит такая система задания напряжений и токов многополюсника, при которой все его выводы равноправны по отношению к образованию внешних соединений. Этому условию удовлетворяют два способа задания токов и напряжений (рис. 7.3). В первом (рис. 7.3, а) напряжения всех полюсов многополюсника отсчитываются относительно некоторого базисного узла, находящегося вне многополюсника, а токи всех выводов считаются направленными внутрь многополюсника. Такой выбор токов и напряжений удобен при формировании уравнений электрического равновесия цепи по методу узловых напряжений, поскольку токи и напряжения выводов многополюсника могут быть отождествлены с узловыми токами и узловыми напряжениями тех узлов цепи, к которым подключены соответствующие выводы многополюсника. Второй способ задания токов и напряжений многополюсника (рис. 7.3, б) удобен при использовании метода контурных токов. Процессы в многополюснике характеризуются в этом случае напряжениями между выводами многополюсника и токами контуров, образованных сторонами многополюсника и остальной частью цепи. Рассмотренные схемы включения многополюсников будем называть обобщенными (неопределенными).

Анализируя обобщенные схемы, нетрудно установить, что напряжения полюсов многополюсника относительно.

Рис. 73. Обобщенные (неопределенные) схемы включения многополюсника базисного (*/₁₀, и₂$,…, Мдю) ^не связаны между собой какимилибо соотношениями и могут задаваться независимо. В то же время из второго закона Кирхгофа следует, что напряжения между выводами многополюсника щ, и₂,…, г/дг выражаются через напряжения полюсов относительно базисного с помощью соотношений.

Из этих выражений следует, что напряжения между полюсами многополюсника не изменятся, если все напряжения полюсов относительно базисного будут изменены на одно и то же значение. Таким образом, напряжения между полюсами не зависят от выбора базисного узла. Суммируя уравнения (7.1), находим, что напряжения между выводами многополюсника связаны соотношением.

Таким образом, только JV — 1 напряжений между выводами многополюсника могут быть заданы независимо.

Аналогично можно установить, что токи выводов многополюсника ц, i₂, не зависят от абсолютных значений контурных токов i, i₂₂, …, im ^и определяются только их разностью:

а токи всех выводов связаны соотношением.

Таким образом, несмотря на то, что все N контурных токов г’ц, г₂₂,…, im являются независимыми, только N — 1 токов внешних выводов многополюсника могут быть заданы независимо.

В общем случае каждая пара внешних выводов многополюсника может рассматриваться как его сторона (вход или выход), следовательно, для многополюсника, имеющего N внешних выводов, можно выделить Су = N (N — 1)/2 сторон (число сочетаний из N по 2). Стороны многополюсника, напряжения (токи) которых могут быть заданы независимо от напряжений (токов) других сторон, называются независимыми.

Из соотношений (7.2) и (7.3) следует, что у многополюсника, имеющего N внешних выводов, можно выделить не более N — 1 независимых сторон. В частности, четырехполюсник имеет не более трех независимых сторон (см. рис. 7.2).