Основные уравнения и первичные параметры линейных неавтономных многополюсников

Основными уравнениями многополюсника называются соотношения, определяющие связь между токами и напряжениями на его внешних выводах. Коэффициенты, входящие в основные уравнения, называются первичными параметрами многополюсника. В зависимости от схемы включения и того, какие величины выбраны в качестве независимых, а какие — в качестве зависимых переменных, каждому многополюснику можно поставить в соответствие различные системы основных уравнений и соответственно различные системы первичных параметров. Если определитель системы основных уравнений многополюсника не равен нулю, то такая система уравнений называется определенной, в противном случае система основных уравнений является неопределенной. Матрица коэффициентов системы основных уравнений, определитель которой равен нулю, называется особенной или неопределенной матрицей первичных параметров многополюсника.

Несмотря на то, что число независимых основных уравнений многополюсника равно числу его независимых сторон N — 1, для описания многополюсников широко используют неопределенные системы основных уравнений, соответствующие обобщенным (неопределенным) схемам включения многополюсников (см. рис. 7.3), число уравнений в которых равно числу внешних выводов многополюсника N. Э го позволяет применять достаточно простые методы формирования уравнений электрического равновесия цепей с многополюсными элементами. В то же время, зная неопределенные матрицы первичных параметров многополюсника, легко получать определенные матрицы в любой схеме включения.

Рассмотрим линейный неавтономный многополюсник, находящийся под гармоническим внешним воздействием. Пусть напряжения всех выводов многополюсника относительно базисного задаются с помощью независимых источников напряжения (рис. 7.4, а). В соответствии с принципом наложения ток каждого вывода равен сумме частичных токов,.

Рис. 7.4. К выводу основных уравнений многополюсника.

в форме Y

вызванных действием каждого независимого источника напряжения в отдельности:

где — частичный ток i-го вывода, вызванный действием источника Ej в режиме, когда все остальные независимые источники напряжения выключены (закорочены).

Коэффициенты уравнений (7.4) — первичные параметры многополюсника — имеют физический смысл входных и передаточных проводимостей, определенных в режиме короткого замыкания, поэтому их обычно называют параметрами короткого замыкания или У-параметрами многополюсника. Как следует из уравнений (7.4),.

— комплексная входная проводимость многополюсника со стороны зажима j (комплексная входная проводимость между полюсом j и соединенными вместе остальными полюсами), измеренная в режиме, когда все источники напряжения, кроме Ер выключены (рис. 7.4, 6). Аналогично, параметр

имеет физический смысл передаточной проводимости от иолюсау к полюсу i, определенной в режиме, когда все источники напряжения, кроме Е_)у выключены (см. рис. 7.4, б).

Заменяя в уравнениях (7.4) ЭДС источников соответствующими напряжениями и используя матричную форму записи, получаем.

Уравнения (7.7) будем называть основными уравнениями многополюсника в форме Y. Квадратная матрица.

в правой части уравнений (7.7) называется неопределенной матрицей проводимостей или неопределенной матрицей Y-параметров многополюсника. Ее можно рассматривать как обобщенный параметр многополюсника, устанавливающий связь между вектором токов выводов многополюсника и вектором напряжений этих выводов относительно некоторого базисного узла. Элементы матрицы Y, y определяются в соответствии с их физическим смыслом по результатам опытов короткого замыкания, которые могут проводиться как экспериментальным, так и расчетным путем.

Пример 7.1. Найдем неопределенную матрицу У-парамстров нолевого транзистора, схема замещения которого по переменному току в режиме малого сигнала изображена на рис. 1.19, б.

Присвоим выводу затвора полевого транзистора номер 1, стока — 2, истока — 3. Составим комплексную схему замещения (рис. 7.5, а), на которой элементы, входящие в схему замещения для мгновенных значений, представлены их комплексными проводимостями: Y =j (oC_3H; Y₂ =j (oC_3C; У3 = G, + j (oC_av Основная система уравнений рассматриваемого многополюсника в форме У:

содержит девять неизвестных коэффициентов (У-параметров полевого транзистора). Для их нахождения рассчитаем токи транзистора в режимах короткого замыкания на различных парах выводов.

Рис. 75. К примеру 7.1.

Схема опыта короткого замыкания для определения параметров Уц, У₂1, У31, входящих в первый столбец неопределенной матрицы проводимостей, приведена на рис. 7.5, б. Используя эту схему, найдем частичные токи первого, второго и третьего выводов транзистора, вызванные действием неуправляемого источника напряжения Е = Uq, включенного между выводом 1 и соединенными вместе остальными выводами транзистора:

Отношения этих частичных токов к ЭДС вызвавшего их источника напряжения в соответствии с выражениями (7.5) и (7.6) являются У-параметрами полевого транзистора:

Аналогичным образом, по результатам опытов короткого замыкания (рис. 7.5, в, г) определим У-параметры полевого транзистора, входящие во второй и третий столбцы неопределенной матрицы проводимостей:

Таким образом, неопределенная матрица Т-парамстров полевого транзистора имеет вид.

Покажем, что нс все элементы неопределенной матрицы проводимостей являются независимыми. Суммируя уравнения (7.7), находим.

Левая часть уравнения (7.8) в соответствии с выражением (7.3) равна нулю, поэтому.

В связи с тем, что напряжения выводов многополюсника относительно базисного узла можно выбирать независимо, равенство (7.9) должно выполняться при любых значениях $io, U₂o> •••> и_т. Полагая последовательно равными нулю напряжения всех выводов относительно базисного, кроме одного, заменим уравнение (7.8) системой уравнений.

Следовательно, сумма элементов каждого столбца неопределенной матрицы проводимостей равна нулю.

Если напряжения всех выводов многополюсника относительно базисного одинаковы и равны U (э го может быть в том случае, когда все выводы многополюсника закорочены и между ними и базисным узлом включен независимый источник напряжения Е = U), то их токи должны равняться нулю:

Из уравнений (7.10) следует, что сумма элементов любой строки неопределенной матрицы проводимостей равна нулю.

Таким образом, из N² элементов неопределенной матрицы проводимостей только (N — I)² являются независимыми.

Пусть токи контуров, внешних по отношению к многополюснику, задаются с помощью независимых источников тока ], jb —jJn> подключенных между выводами многополюсника (рис. 7.6, а). В соответствии с принципом наложения напряжения между внешними выводами линейного неавтономного многополюсника Uj могут быть представлены в виде суммы частичных напряжений Uft вызванных действием каждого независимого источника тока /, в отдельности:

Коэффициенты системы уравнений (7.11) называются параметрами холостого хода или Z-параметрами многополюсника и имеют физический смысл входных.

или передаточных.

комплексных сопротивлений, определенных в режиме, когда все источники тока, кромевыключены (рис. 7.6, б).

Рис. 7.6. К выводу основных уравнений многополюсника.

в форме Z.

Заменяя в уравнениях (7.11) источники тока контурными токами соответствующих контуров и используя матричную форму записи, получаем основные уравнения многополюсника в форме Z:

Квадратная матрица.

стоящая в правой части уравнений (7.14), называется неопределенной матрицей сопротивлений или неопределенной мат рицей Z-параметров многополюсника

Неопределенную матрицу сопротивлений Z_/; можно рассматривать как обобщенный параметр многополюсника, устанавливающий связь напряжений между выводами многополюсника с контурными токами внешних по отношению к нему контуров. Элементы неопределенной матрицы сопротивлений определяются в соответствии с их физическим смыслом по результатам опытов холостого хода, причем сумма элементов каждого столбца и сумма элементов каждой строки матрицы Zjj равны нулю.

Пример 7.2. Найдем неопределенную матрицу сопротивлений биполярного транзистора, низкочастотная схема замещения которого по переменному току в режиме малого сигнала приведена на рис. 1.19, а.

Присвоим выводам эмиттера, коллектора и базы номера 1,2, 3 и построим комплексную схему замещения транзистора, на которой укажем положительные направления напряжений между выводами и положительные направления контурных токов, внешних, но отношению к транзистору контуров (рис. 7.7, а). Основная система уравнений рассматриваемого многополюсника в форме Z^[1]

Рис. 7.7. К примеру 7.2.

содержит девять неизвестных коэффициентов — Z-парамстров транзистора, для определения которых необходимо произвести три опыта холостого хода. Схемы опытов холостого хода, позволяющих найти частичные напряжения между выводами транзистора, вызванные действием каждого из источников тока j = /и, Л = /₂2> Уз ⁼ /зз> ^в отдельности, приведены на рис. 7.7, б —г. Отношения частичных напряжений к токам вызвавших их источников тока согласно выражениям (7.12), (7.13), представляют собой искомые параметры:

Нетрудно убедиться, что сумма элементов любой строки, как и сумма элементов любого столбца неопределенной матрицы сопротивлений биполярного транзистора.

равна нулю.

При построении основных уравнений многополюсника в формах Z и Y в качестве независимых переменных выбирались либо только напряжения, либо только токи, связанные с внешними выводами. В каждом из этих случаев коэффициенты основной системы уравнений имели одинаковую размерность и определялись в одном и том же режиме (короткого замыкания или холостого хода). Системы первичных параметров многополюсника, в которых все параметры имеют одинаковую размерность и определяются в одинаковом режиме, называются однородными.

Если в качестве независимых переменных выбрать токи одних и напряжения других сторон многополюсника, то коэффициенты полученной системы уравнений будут иметь различную размерность и определяться в различных режимах, причем часть недиагональных элементов соответствующей матрицы параметров может оказаться безразмерной. Если на некоторых сторонах многополюсника и ток, и напряжение выбраны в качестве независимых переменных, то безразмерными могут быть и некоторые диагональные элементы. Системы первичных параметров многополюсника, в которые входят параметры, имеющие различную размерность и измеряемые в различных режимах, называются смешанными (гибридными).

• [1] Неопределенные матрицы сопротивлений и проводимостей многополюсника Zjj и Yjj нс следует путать с матрицами контурных сопротивлений Z (j) и узловых проводимостей Y