Свойства разностных схем

Нормы и операторы

Для строгого определения свойств разностных схем напомним ряд сведений из математики и введем некоторые обозначения.

Дифференциальную краевую задачу будем записывать в виде символического равенства.

Здесь L дифференциальный оператор, и искомая функция, представляющая решение дифференциальной задачи, / известная функция, значению которой должен быть равен результат действия оператора L на функцию и.

Разностную схему запишем в виде.

Здесь Lh — разностный оператор, действующий на сеточную функцию и^ — результат решения разностной задачи, представляющий собой сеточную функцию, определенную на сетке с шагом дискретизации h, проекция на сетку непрерывной функции /•.

Точное решение дифференциальной задачи — непрерывная функция и и решение разностной задачи — дискретная функция и^ определены в различных функциональных пространствах. Однако точное решение может быть вычислено в узлах сетки на том же множестве узлов, где определяется сеточное решение. В этом случае говорят о проекции на сетку точного решения дифференциальной задачи и полученную таким образом сеточную функцию обозначают через [u]h. Введение проекции точного решения удобно тем, что появляется возможность сравнить точное и приближенное решения в рамках одного и того же функционального пространства пространства сеточных функций.

Для строгой записи условий, которым должны удовлетворять решения разностных схемы, нам потребуется понятие нормы функции и ее расширение па класс сеточных функций.

Нормой функции называется неотрицательное число, которое принимается за меру отклонения функции от тождественного нуля. Обозначим норму функции д через д. Пространство функций называется нормированным, если каждому его элементу поставлена в соответствие норма, причем выполняются следующие три аксиомы нормы:

• 1) ||<71| ^ 0 (неотрицательность нормы);
• 2) ||Ау|| = |А| д (линейность нормы — числовой множитель выносится за символ нормы своим модулем);
• 3) ||— неравенство треугольника.

Норма может быть введена различными способами. Так, для функций, непрерывных на интервачПС [а, 6], можно принять.

Для этого же случая можно ввести норму другим способом:

По аналогии можно ввести норму для сеточных функций:

Использование той или иной нормы определяется физическим содержанием задачи.

После того, как пространство сеточных функций нормировано, приобретает смысл понятие отклонения одной функции от другой. За меру отклонения двух функций друг от друга принимается норма их разности, т. е. число [и^ —.