Простейшие способы оценивания в условиях автокорреляции

Прежде всего рассмотрим некоторые простые процедуры, позволяющие уменьшить влияние автокорреляции на свойства модели оцениваемого временного ряда. Пусть, например, модель временного ряда имеет вид.

Вместо функции тренда в выражении (7.16) может быть любая другая неслучайная функция (сезонность, цикличность или их комбинации). Рассмотрим простейший случай автокорреляции первого порядка. Пусть между ошибками s (f) и e (t — 1), возникающими в последовательные моменты времени, имеется линейная зависимость, тогда взаимосвязь соответствующих остатков имеет вид.

где а, b — неизвестные параметры; и (!) — случайная величина, относительно которой справедливы предположения теоремы Гаусса — Маркова.

Применив МНК к выражению (7.17), получим.

где

Поскольку остатки e (t) были получены после применения метода наименьших квадратов, то.

Подставив эти выражения в формулу (7.17), получим.

В результате модель (7.16) принимает вид.

Введем в рассмотрение новую переменную.

Для x (t) справедлива следующая модель:

где

Поскольку случайная ошибка u (t) удовлетворяет всем предположениям метода наименьших квадратов, то идентификация преобразованной модели (7.19) будет корректной. Очевидно, что для использования данного подхода необходимо предварительно оценить коэффициент автокорреляции г (1).

Если r (1) = 1, то преобразование (7.18) представляет собой результат операции взятия первых разностей:

Если же r (l) = -1, то удобнее перейти к переменной х = х/2, что приводит к моделям, построенным по скользящим средним:

Обобщая вышеизложенное, можно сделать вывод, что переход от исходных данных к первым разностям позволяет уменьшить влияние негативных последствий сильной положительной автокорреляции первого порядка; переход от исходных данных к скользящим средним приводит к снижению последствий сильной отрицательной автокорреляции первого порядка.