Математические и физические основы метода установления

Метод установления обычно используется для решения уравнений эллиптического типа или смешанных эллиптико-гиперболических уравнений. В задачах газовой динамики уравнения эллиптического типа описывают стационарное дозвуковое течение, например, течение за отошедшей ударной волной при сверхзвуковом обтекании затупленных тел или течение в сужающейся части сопла Лаваля. Уравнение для функции тока и потенциала скорости в плоском несжимаемом течении является уравнением Лапласа. К эллиптическому уравнению приводит задача определения напряжений, возникающих при упругом кручении длинного цилиндрического стержня, задача о стационарных потоках тепла в двумерном теле и многие другие.

Для уравнений эллиптического типа характерной является задача Дирихле, когда на границе Г области G, в которой ищется решение, задана искомая функция и (х, у) (рис. 4.17, а). Поясним идею метода установления на примере задачи Дирихле для уравнения Лапласа с двумя независимыми переменными х и у:

Задачу (4.48) будем называть СТАЦИОНАРНОЙ, так как ее решение не зависит от времени. Наряду со стационарной задачей рассмотрим эволюционную (нестационарную) задачу для параболического уравнения теплопроводности с теми же граничными условиями и произвольно выбранными начальными данными (рис. 4.17, б):

В общем случае, если граничные условия зависят от времени, задачу (4.49) называют НЕСТАЦИОНАРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ. В представленной формулировке задача (4.49) называется вы;

Рис. 4.17.

рожденной нестационарной задачей, так как условие на границе области не зависит от времени.

Таким образом, в методе установления вводится новая независимая переменная t и задача формально усложняется — увеличивается размерность задачи. Однако при этом увеличивается набор возможных разностных схем решения задачи, что допускает выбор из них устойчивых и экономичных. Далее будет показано, что кажущееся усложнение задачи не приводит ни к увеличению времени счета, ни к потере точности. Важным достоинством метода установления является то, что краевая задача для эллиптического уравнения сводится к задаче с начальными и краевыми условиями. Из физических соображений достаточно очевидно, что решение эволюционной задачи (4.49) при t —" °° будет стремиться к решению стационарной задачи (4.48).

Действительно, решение стационарной задачи (4.48) дает стационарное распределение значений искомой функции (например, температуры) в области G при заданном ее распределении на границе области Г. Решение эволюционной задачи (4.49) дает распределение значений функции во времени при тех же, что и в стационарной задаче, граничных условиях. Очевидно, что по истечении достаточно большого промежутка времени в области G установится распределение значений функции, не зависящее от начальных условий, а определяемое лишь значениями функции на границе. Приведенное рассуждение дает основание предполагать, что решение эволюционной задачи при t —* °° сводится к решению стационарной задачи и решение эволюционной задачи при достаточно большом t — Т может быть принято за приближенное решение исходной стационарной задачи.

Приведем некоторые математические рассуждения, подтверждающие сделанное предположение о выходе решения эволюционной задачи (4.49) на стационарный режим. Пусть и (х, у, t) и и (х, у) — решение задач (4.49) и (4.48) соответственно. Рассмотрим разность.

Функция w удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.49). Начальные данные имеют вид.

а однородные граничные условия —.

Используя метод разделения переменных Фурье при получении решения линейной однородной краевой задачи для функции w, покажем, что w (x, у, t) -" 0 при t -" 0. Рассмотрение проведем на примере соответствующей одномерной задачи в области G: [О < t < Т, 0 < х < 1]. Имеем:

Будем искать частное решение задачи в виде Подставив (4.53) в (4.50), получаем.

где X = const. Подставляя выражение (4.53) в условие (4.51), получаем.

Из соотношений (4.55) следует, что Х (О) = Х (1) = 0. Выражение (4.54) дает два обыкновенных дифференциальных уравнения для нахождения функций Х (х) и 7(f);

Для уравнения (4.57) решаем краевую задачу с однородными условиями (4.55). Она сводится к простейшей задаче на собственные значения, из которой необходимо определить значения параметра X, при которых существуют нетривиальные решения задачи (4.57), (4.55).

Рассмотрим три возможных случая.

• X < 0; Х (я) = + С₂е~^^х. Из соотношений (4.55) сле дует, что С₁ = С₂ = 0; Х (х) = 0.

• X = 0; Х (х) = Cjjc + С₂. Из соотношений (4.55) вновь следует, что Cj = С₂ = 0; Х (х) = 0.

Нетривиальные решения задачи (4.57), (4.55) возможны при.

Тогда из уравнения (4.56) следует, что Y (t) = Согласно вы ражению (4.53) частное решение w (x, t) имеет вид.

Постоянные Cj определяются из разложения начальной функции w (x, 0) в ряд Фурье. Не будем приводить конкретных формул для вычисления этих постоянных. Из последнего соотношения следует, что w (х, t) -" 0 при t -" 0, т. е. решение эволюционной задачи стремится при t —> оо к решению стационарной задачи. Таким образом, решение задачи (4.48) можно рассматривать как предел решения нестационарной задачи (4.49) при f —" оо.

Рассмотрим еще одну эволюционную задачу, описывающую колебания мембраны при наличии вязкого трения:

Колебания со временем будут затухать, и решение этой задачи будет стремиться к решению задачи (4.48), которую можно рассматривать как задачу о прогибе мембраны. Если в уравнении отбросить член —, то оно будет описывать процесс колебания.

at

мембраны без затухания амплитуды колебаний и решение устанавливаться не будет.