Экспериментальные и теоретические предпосылки адекватности выбранной модели ценообразования

Обратим внимание на то, что теоретическое значение прибыли в силу формулы (5.22) может быть оценено сверху и снизу на основе предельных значений для волатильности (а, = 0 и о₍ = +°°) следующим образом:

где.

Для высоколиквидных акций, торгуемых в настоящее время как на американских, так и на российских финансовых рынках, указанные оценки теоретической прибыли и кривая реальной прибыли обладают высокой степенью положительной корреляции. При этом кривая изменения реальной прибыли для высоколиквидных акций во всех рассмотренных до настоящего времени случаях, когда и (т) = г/₀ > 0, находилась строго в диапазоне между р_г^н и pf, что, во всяком случае косвенно, также свидетельствует об адекватности использованной модели. Примеры соответствующих графиков приведены на рис. 5.4 и 5.5 при управлении портфелями, содержащими акции Сбербанка России и компании Apple, Inc. соответственно.

Рис. 5 Л. График изменения оценок теоретической прибыли и реальной прибыли при совершении торговых операций с акциями Сбербанка России за период с 1 октября 2014 г. по 2 октября 2015 г.:

• —реальная прибыль;——-теоретическая прибыль (нижняя оценка);
• —теоретическая прибыль (верхняя оценка)

Полностью ответ на вопрос об адекватности выбранной модели ценообразования дается в результате сравнения реальной и теоретической прибыли, подсчитанной с учетом точного значения входящей в нее интегральной волатильности. Различные методы оценки интегральной волатильности на основе известной реализации случайного процесса описаны в гл. 8 настоящего учебника.

Отметим, что адекватность выбранной модели ценообразования, соответствующей первому условию теоремы 5.1, подтверждается не только приводимыми выше экспериментальными данными. Допустимость предположения о том, что волатильность а, можно полагать независящей от случайного процесса х_р имеет определенное, приводимое ниже, теоретическое обоснование.

Рис. 5.5. График изменения оценок теоретической прибыли и реальной прибыли при совершении торговых операций с акциями компании Apple, Inc. за период с 1 марта 2013 г. по 1 марта 2014 г.:

• —реальная прибыль;——-теоретическая прибыль (нижняя оценка);
• —теоретическая прибыль (верхняя оценка)

Зададимся моделью ценообразования x_t = ехр (/?,), где х, соответствует цене отдельно взятой акции, при этом h_t является процессом авторегрессии любого конечного порядка:

где e_t — белый шум; А — заданный временной интервал. Как хорошо известно^[1], соотношение (5.28) может быть переписано в конечных разностях:

где cij — некоторые коэффициенты, определяемые через с,-, при этом = V (V^kh_t) и VA, = h, -h_t__д.

Запишем непрерывный аналог разностного уравнения (5.29):

Решение задачи Коши для уравнения (5.30) на интервале [0; t] может быть представлено в виде.

где ф (?) — некоторая детерминированная функция, a G (t — s) — неслучайная передаточная функция, представляющая собой подынтегральное выражение в соответствующем интеграле Ито. Зафиксируем t и для удобства вычислений введем новое обозначение F (s) = G (t-s). Поскольку F (s) является детерминированной функцией, имеет место формула интегрирования по частям для интеграла Ито в выражении (5.31). Таким образом, справедливы следующие преобразования:

которые приводят к соотношению.

Окончательно с использованием выражения (5.30) получаем следующее представление для h_t

Применяя к зависимости x_t = exp(h_t) формулу Ито, непосредственно получим.

что в точности соответствует стохастическому уравнению (5.1), где

Таким образом, волатильность о, не зависит от W_t и, следовательно, от x_t. Соответственно, когда происходит изменение числа слагаемых или коэффициентов, входящих в уравнение авторегрессии, происходит скачкообразное изменение значения волатильности c_t = G (0).

Замечание 5.7. Указанные выше соображения могут быть полезны при моделировании процесса ценообразования с помощью авторегрессионной модели. А именно, существенное изменение накопленной волатильности может служить индикатором к пересмотру количества и значений коэффициентов авторегрессии.

• [1] Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974.