Непрерывность. 
Высшая математика. 
Альтернативная методология преподавания

Элементарное рассмотрение графика функции завершит фундаментальное в анализе функций.

Определение 3.16. Функция /: X —>Y, где X и Y суть линейно упорядоченные множества, называется непрерывной в точке х = с, если в X существует такая (а, Ь)-окрестность точки с, что для каждого (p, q) — интервала, а < p

Непрерывная в каждой точке из X функция f называется непрерывной на X. Функция /: X —" Y, не являющаяся непрерывной в точке х = с, называется разрывной в этой точке.

Если в Определении 3.16 допустить с = q = b (с = р = а), то получим определение непрерывности в точке х = с слева (справа).

Контрпример. Функция /: X —" У, заданная на дискретном множестве X со значениями во всюду плотном множестве У, будет разрывной в каждой точке из X.

Обратите внимание на то, что понятие непрерывности и разрывности функции введены вне связи с непрерывностью самих множеств X и У. Непрерывность множества X мы опишем, как сделано выше с таковым понятием для функции, сначала в точке х = с.

Всякая точка сеО (а, Ь) линейно упорядоченного множества X, X з 0(а, Ь), разбивает это множество на два непустых подмножества А и В такие, что А[) В = X и А Г В = 0 (см. Определение 3.6). При этом сама точка с может входить либо в А, либо в В, т. е. либо А = {х: х< с} и В={у: с < у}, либо А = {х: х < с} и В= {у: с < у}, так что в первом случае с = sup А и с = inf В — во втором.

Для дискретного множества X в первом случае в В найдется единственный такой элемент b, что /уеВ{Ь}Ь<�у, 0(с,/>) = 0, во втором случае в Л найдется такой элемент а, что Vx е Л {а} х < а и 0(а, с) = 0.

Условимся называть классы А и В разбиения X левым (нижним) и, соответственно, правым (верхним). Так что для любого разбиения дискретного множества X на левый и правый классы в левом классе есть наибольший элемент а = sup А ив правом наименьший b = inf В .

Пример 3.10. Пусть А = { 1,2} и В = {3,4,…}, т. е. A U В =N. Тогда

2 = sup А, 3 = inf В.

Для всюду плотного множества М всякая (а, с)-окрестность не пуста и потому при любом разбиении М на левый и правый классы либо в классе А нет sup А, либо в В нет inf В. Более того, если разбиение всюду плотного множества М задано не с помощью элемента из М, то может не оказаться ни в классе А наибольшего элемента, ни в классе В наименьшего. Подробнее об этом скажем в главе 5.

Определение 3.17. Дедекиндовым сечением линейно упорядоченного множества М в точке с называется такое его разбиение М = A U В, V (a, 6) е Ах В, а <�Ь, когда-либо в нижнем классе, А есть элемент с = sup А, но в верхнем классе В нет наименьшего, либо в верхнем классе В есть элемент с = inf В, но в классе, А нет наибольшего.

Определение 3.18. Линейно упорядоченное множество М называется непрерывным в точке сеМ множеством, если разбиение его точкой с является дедекиндовым сечением. Непрерывное в каждой своей точке х множество М с линейным порядком р называется непрерывным относительно порядка р.

Теорема 3.2. Всюду плотное множество М непрерывно в каждой своей точке с.

• Поскольку множество М всюду плотно, то для всякого (а, Ь) — интервала, где а<�с<�Ь, интервалы (а, с) и (с, 6) не пусты. Точка с, разбивая множество М на два класса, может принадлежать лишь одному из них. Если, например, се В, где В — верхний класс разбиения, то V* е А и (х, с) — интервал не пуст, и следовательно, в классе А нет a* =sup^. Если се А, то с = sup А. Если теперь допустить, что и в верхнем классе В есть элемент

b* = inf 5, то Ь* <�Ь, и тогда A{J В ф М, ибо (с, 6*)-интервал не пуст в силу всюду плотности множества М.

Таким образом, данное разбиение множества М есть дедекиндово сечение и, значит, М непрерывно в точке с. ?

Упражнение 3.8. Найти точки непрерывности множества

относительно естественного порядка в М из R.

В заключение этого параграфа введем понятие эквивалентности во множестве линейно упорядоченных множеств. Пусть р и ср суть линейные порядки во множествах X и Y, соответственно. Биективное отображение р:X—>Y называют изоморфным отображением или изоморфизмом,

если из, а ^р-< b следует (3(a) (3(6)для любых элементов а и b из X. Ли нейно упорядоченные пространства X и Y называют изоморфными, если хотя бы одна биекция между ними является изоморфизмом (см. также п. 4.2).

Отношение изоморфности линейно упорядоченных множеств обладает следующими свойствами:

• а) рефлексивностью, ибо тождественное отображение Г.Х^Х есть изоморфизм;
• б) симметричностью, ибо если р: X —" Y- изоморфизм, то и Р^_|: У —> X гоже изоморфизм;
• в) транзигивностью; действительно, если р: А —> У и т: У —> X изоморфизмы, т. е. из а < b => р (а)) => т (р (а)) < т (р (/?)), то из а < b следует и т (Р (а)) < т (Р (6)).

Поэтому изоморфные множества образуют класс эквивалентных множеств, неразличимых, одинаковых по отношению к структуре линейного порядка.

Так, например, изоморфны (эквивалентны) все конечные, следовательно, дискретные множества с равным количеством элементов. Для таких множеств изоморфизм устанавливается простым перечислением соответствующих пар элементов, начиная, например, с наименьших. Вопрос любознательному Читателю: можно ли доказать, что для каждого дискретного бесконечного множества М можно выбрать порядок р такой, что множество М с этим порядком р будет изоморфно множеству N натуральных чисел?