Геометрическое броуновское движение как базовая модель динамики стоимости высоколиквидных акций

Первая попытка математического описания динамики курсовой стоимости акций, основывающаяся на подходах теории вероятностей, была предпринята Л. Башелье в работе, посвященной анализу цен на парижской фондовой бирже^[1]. Башелье впервые рассматривал процесс ценообразования как случайный процесс. Проведя подробный статистический анализ экспериментальных данных, он заметил, что динамика изменения цен соответствуют процессу случайного блуждания. Концепцию ценообразования на финансовые активы, предложенную Башелье, можно на современном математическом языке выразить с помощью стохастического дифференциального уравнения следующего вида:

где cdt — трендовая составляющая изменения цены за бесконечно малый промежуток времени dt> odW_t — шумовая (случайная) компонента данного изменения.

Башелье внес неоценимый вклад в теорию стохастического моделирования, став, по сути, родоначальником применения вероятностных подходов в теории финансов. Несмотря на это, его взгляды на процессы ценообразования, как позже было показано П. Самуэльсоном, во многом были ошибочны. Явные недостатки, присущие модели, отвечающей зависимости (2.45), можно сформулировать следующим образом.

• 1. Дело в том, что цены активов не могут быть отрицательны. В то же время уравнение (2.45), очевидно, допускает возможность принятия величиной X_t отрицательных значений. Для преодоления указанного противоречия в финансовой теории принято рассматривать в качестве моделируемого процесса не сами цены Х_п а их относительные приращения, или доходности.
• 2. Зависимость (2.45) предполагает, что абсолютные изменения цены ДХ (?) независимы от величины X (t). Однако в реальности это не совсем так. Абсолютное изменение цены более дорогого актива будет ожидаться в среднем большим, чем абсолютное изменение более дешевого актива. Скорее следует ожидать, что независимыми от AX (t) будут пропорциональные изменения в цене актива AX (t)/X (t). В свою очередь, пропорциональные, или процентные, изменения могут быть одинаковыми независимо от цены актива.
• 3. Постоянные значения коэффициента с в формуле (2.45) не учитывают возможные изменения тренда (тенденции) в динамики цены с повышательного на понижательный и наоборот.
• 4. Наблюдения показывают, что интенсивность шумовой составляющей цены, а также очевидным образом изменяется в различные периоды времени.

С целью преодоления указанных недостатков вместо случайного процесса, описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (2.45), была предложена его следующая модификация, являющаяся частным случаем диффузионного процесса, или процесса Ито:

где S — заданное начальное значение цены, c_t= c (t, со), a_f= cy (t, со) — некоторые измеримые случайные функции времени, при этом величина c_t носит название коэффициента сноса, aa_f— коэффициента волатильности (в ангоязычной литературе соответственно — drift и volatility).

Случайный процесс x_t, описываемый уравнением (2.46), называется процессом геометрического броуновского движения. Следуя П. Самуэльсону^[2], впервые предложившему использовать данный процесс в моделях динамики экономических переменных, его также называют экономическим броуновским движением.

Для моделирования траекторий геометрического броуновского движения на заданном промежутке времени [0; 7] можно использовать метод Монте-Карло. На рис. 2.9 приведена одна из возможных траекторий этого случайного процесса на интервале [0; 1] с начальным значением Х₀ = 10.

Рис. 2.9. Траектория геометрического броуновского движения на интервале

Из рис. 2.9 ясно, что по крайней мере визуально траектории геометрического броуновского движения соответствуют графикам изменения цен различных рисковых финансовых активов, например акций.

Стохастическое дифференциальное уравнение (2.46) с постоянными коэффициентами с, = с и a_t = а имеет явное решение следующего вида:

или.

где процесс.

называют броуновским движением с локальным сносом a-G²/2 и диффузией а².

Длительный опыт использования модели геометрического броуновского движения на финансовых рынках применительно к задачам управления портфелем высоколиквидных активов и к оценке стоимости различных финансовых инструментов показал ее несомненную адекватность.

В частности, известная теория ценообразования опционов Блэка — Шоулза полностью построена на предпосылке о том, что цены базовых активов, на которые заключаются опционные контракты, изменяются в соответствии с процессом геометрического броуновского движения^[3]. Более подробно способ проверки адекватности модели геометрического броуновского движения для оценки доходности инвестиционного портфеля на основе понятия теоретической и реальной прибыли будет дан в гл. 5.

С другой стороны, несмотря на простоту модели геометрического броуновского движения, оценка ее параметров (c_t и су,) в режиме онлайн на фондовых рынках весьма затруднительна. Параметр сноса c_t, как правило, вообще не оценивается надежно по результатам наблюдений за динамикой цен активов. Тем не менее, как было указано в первой (вводной) главе, динамика высоколиквидных активов на фондовых рынках характеризуется наличием свойства квазиэргодичности, весьма важном при оценке прибыльности инвестиционного портфеля и расчете стоимости финансовых инструментов. Вообще говоря, процесс геометрического броуновского движения следует использовать прежде всего в качестве модели ценообразования высоколиквидных акций при построении управления портфелем ценных бумаг или при определении справедливых цен соответствующих производных финансовых инструментов.

Здесь важно отметить, что инвестиционный портфель необязательно включает в себя высоколиквидные акции, торгуемые на фондовом рынке. Он может содержать и ряд высоликвидных активов, NPV^[4] (чистая текущая стоимость, или в англоязычной литературе net present value) которых может во многих случаях описываться моделью геометрического броуновского движения даже с постоянными коэффициентами сноса и волатильности. В качестве таких активов могут выступать, в частности, фирмы, доходности деятельности которых подвержены определенным случайным флуктуациям. Подробно данные вопросы будут рассмотрены в гл. 4.

• [1] Bachelier L. Theorie de la speculation // Annales de l’Ecole Normale Superieure. 1900.Vol. 17. P.21−86.
• [2] Samuelson Р. A. Prof that properly anticipated prices fluctuate randomly // IndustrialManagement Review. 1965. Vol. 6. P. 41—50.
• [3] Black F. y Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities //Journal of PoliticalEconomy. 1973. Vol. 81. № 3. P. 637−654.
• [4] Брейли P. y Майерс С. Принципы корпоративных финансов. M.: Олимп-Бизнес, 2008.