Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач

В пункте 1.5 данной курсовой работы мы рассмотрели теоремы Чевы и Менелая, теперь рассмотри практическое использование данных теорем на примерах.

Задача 1.

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку, А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найти отношение Решение:

По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. Пусть MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая.

Ответ:

Задача 2.

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть AM₁, BM₂, СM₃ — медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что.

Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM₁, BM₂ и СM₃ пересекаются в одной точке.

Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Задача 3.

На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR — точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m: n, считая от точки Q. Найдите.

Решение:

По условию NQ = LR, Пусть NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.

По теореме Менелая Ответ:

Задача 4.

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Покажем, что.

Тогда по теореме Чевы (обратной) AL₁, BL₂, CL₃ пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника.

Перемножая почленно полученные равенства, получаем.

Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.

Задача 5.

В треугольнике АВС AD — медиана, точка O — середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

Решение:

Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.

По теореме Менелая.

Ответ:

Задача 6.

Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть A₁, B₁и C₁ — точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA₁, BB₁и CC₁ пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C₁B = BA₁ = x, AC₁ = CB₁ = y, BA₁ = AC₁ = z.

Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Задача 7.

Рассмотрим два способа решения одной задачи. Первый способ довольно длинный, но данный прием, который в нем используется, применяется довольно часто при решении задач, в которых дано отношение отрезков. Второй способ позволяет решить задачу в одно действие, но в нем используется Теорема Менелая.

Итак задача: На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM: MB=2:3, BN: NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO: OM.

Решение 1:

Вот наш треугольник:

Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AB, затем продолжим отрезок AN до пересечения с этой прямой и поставим там точку К:

Рассмотрим треугольники ANC и BNK. Эти треугольники подобны, так как AC||BK. Стороны треугольника BNK относятся к сторонам треугольника ANC как 2:1.

Пусть AC = x, BK = 2x.

Теперь продолжим отрезок MC до пересечения с прямой BK. Поставим там точку L.

Мы получили подобные треугольники LMB и AMC, сходственные стороны которых относятся как 3:2. Так как AC = x, то LB = 1,5x.

Пусть LM = 3n, MC = 2n. Тогда LC = 5n.

Теперь рассмотрим подобные треугольники LOK и AOC.

.

следовательно,. Пусть LO = 3,5z, OC = z. Тогда LO+OC=LC=4,5z. Получили, что 5n = 4,5z. Тогда MC = 2n = z.

Отсюда MO = MC-CO = z-z = z.

Отсюда CO: OM = z: z = 5:4 = 1,25.

Ответ: 1,25.

Решение 2:

Теперь используем при решении данной задачи теорему Минелая. Рассмотрим треугольник MBC и прямую AN:

Запишем теорему Менелая для этого треугольника:

Ответ: 1,25.

Рассмотрев применение теорем Чевы и Менелая при решении задач можно сделать следующий вывод: знание данных теорем весьма упрощает решение задачи, однако зачастую задачу все-таки можно решить и не применяя данных теорем, но, как правило, решение будет весьма объёмным.