Изображение процесса регулирования на фазовой плоскости

Для достижения наглядности и лучшей обозримости возможных форм процесса регулирования часто применяют изображение этого процесса на так называемой фазовой плоскости. Изображение процессов на фазовой плоскости является хорошим средством иллюстрации качества процессов регулирования.

Фазовой плоскостью называют плоскость, на которой по двум осям координат (х и у) откладываются переменные, характеризующие поведение рассматриваемой системы регулирования в динамике, т. е. в переходном режиме. В качестве двух таких переменных обычно берут отклонение регулируемой величины и скорость изменения этого отклонения, т. е. его производную по времени. По оси х откладывают отклонение регулируемой величины, а по оси у — производную отклонения, но времени. Это наиболее распространенный выбор координат фазовой плоскости, хотя в принципе можно брать и любые другие переменные.

Посмотрим, как выглядят на фазовой плоскости основные типы процессов регулирования, уже рассмотренные нами ранее. Сначала рассмотрим изображение на фазовой плоскости процесса в САР с регулятором прямого действия и статической характеристикой (рис. 1.3). Процесс регулирования в этой САР описывается одним дифференциальным уравнением первого порядка. Отклонение регулируемой величины (или так называемую координату состояния), как и ранее, обозначим h и будем откладывать его по оси х_у а скорость изменения отклонения, согласно (1.16),.

будем откладывать по оси у. Как следует из последней формулы, скорость изменения отклонения является линейной функцией отклонения (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Зависимость скорости отклонения от значения отклонения h.

Каждому состоянию САУ соответствует точка на фазовой плоскости, называемая представляющей точкой. Всякое изменение состояния САУ изображается на фазовой плоскости некоторой линией, называемой фазовой траекторией.

На рис. 3.20, а показан процесс регулирования в САР, приведенной на рис. 1.3, на рис. 3.20, 6 представлено его изображение на фазовой плоскости. Из рис. 3.20, б следует, что процессы регулирования в САУ, описываемой дифференциальным уравнением первого порядка, изображаются на фазовой плоскости отрезками прямых линий: вертикальных и наклонных. Угловой коэффициент наклонных линий соответствует угловому коэффициенту прямой, изображенной на рис. 3.19. Точка 1 соответствует концу установившегося режима при номинальном расходе Qp._H> когда уровень воды равен Н_н = 9 дм. В этот момент резко возрастает действующее на САР возмущение: скачком увеличивается расход жидкости, который становится равным 2Q. Отклонение h еще не успевает измениться и остается на уровне h = 1 дм, но скорость его изменения резко увеличивается, что демонстрирует изображение процесса на фазовой плоскости. Далее отклонение начинает увеличиваться, а скорость его изменения — уменьшаться по линейному закону. В точке 2 переходный процесс при увеличенной нагрузке заканчивается, и в системе устанавливается новое равновесие при (2_р = 2<2_рн и отклонении h = 2 дм (II = 8 дм). Скорость же изменения отклонения h в новом установившемся режиме в точке 2 снова становится равной нулю.

Рис. 3.20. Процесс регулирования в САУ, описываемой дифференциальным уравнением первого порядка (а), и изображение его на фазовой плоскости (б).

При уменьшении расхода жидкости возникает новый переходный режим. Система из точки 2 переходит в точку 3. При этом скорость изменения отклонения становится отрицательной, так как h в этом случае уменьшается. В конце переходного режима в точке 3 скорость изменения отклонения становится равной нулю, а отклонение из-за уменьшения расхода уменьшается до значения h = 0,5 дм (Я = 9,5 дм). Все точки равновесия 1, 2, 3, соответствующие установившемуся режиму, лежат на оси абсцисс (оси h).

На рис. 3.21, а показан процесс регулирования в САР, приведенной на рис. 1.12, на рис. 3.21, б приведено его изображение на фазовой плоскости для случая, когда процесс носит незатухающий колебательный характер. В этом случае зависимость скорости изменения отклонения от значения самого отклонения нелинейная и изображается на фазовой плоскости в виде эллипса. Точка 1 с координатами (0, 0) соответствует установившемуся режиму. При изменении расхода жидкости установившийся режим заканчивается, и начинается переходный режим. При этом скорость изменения отклонения, равная нулю до переходного режима (точка 1), увеличивается скачком до значения, определяемого точкой 2. Затем скорость изменения уменьшается до нуля, а само отклонение становится максимальным, что соответствует точке 3. Далее процесс снова переходит в точку 2, и затем продолжается движение по замкнутой кривой, т. е. по эллипсу. Это означает, что в системе возникает незатухающий колебательный процесс.

а в.

Рис. 3.21. Незатухающий колебательный процесс регулирования в САР, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка (а), и изображение его на фазовой плоскости (б)

dh

Как следует из рис. 3.20, б и рис. 3.21, б, если производная — >0, то.

at

отклонение h увеличивается и представляющая точка, характеризующая процесс регулирования на фазовой плоскости, может перемещаться только слева направо в направлении возрастания h. Если же — < 0, то точка может.

at

перемещаться только справа налево в сторону уменьшения h. Таким образом, движение представляющей точки на фазовой плоскости происходит всегда по направлению движения часовой стрелки.

На рис. 3.22, а показан затухающий колебательный процесс регулирования в САР, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, а на рис. 3.22, б приведено его изображение на фазовой плоскости. Здесь, как и в ранее рассмотренном случае (см. рис. 3.21), в начале переходного режима скорость изменения отклонения скачком переходит из точки 1 в точку 2. Однако здесь колебания затухающие, и процесс на фазовой плоскости изображается затухающей спиралью, т. е. спиралью, закручивающейся вокруг точки 4 с координатами (0; 0). Точки 1 и 4, характеризующие установившиеся процессы до возмущения и после возмущения, на фазовой плоскости совпадают. Это значит, что кривая в начале переходного процесса выходит из начала координат и далее по закручивающейся спирали снова возвращается в эту же точку. Процесс регулирования устойчивый.

На рис. 3.23, а показан расходящийся колебательный процесс регулирования в САР, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, а на рис. 3.23, б приведено его изображение на фазовой плоскости. В этом случае процесс на фазовой плоскости изображается в виде расходящейся или раскручивающейся спирали. Эго означает, что процесс регулирования неустойчив.

Рис. 3.22. Затухающий колебательный процесс регулирования в САР, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка (а), и изображение его на фазовой плоскости (б).

Рис. 3.23. Расходящийся колебательный процесс регулирования в САР, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка (а), и изображение его на фазовой плоскости (б).

Если сопоставить фазовые траектории, изображенные на рис. 3.21, б, 3.22, б и 3.23, б, то можно отметить некоторые общие свойства этих кривых. Все они пересекают ось абсцисс под прямым углом, и во всех случаях имеется только одна точка равновесия, лежащая в начале координат. Однако характер равновесия во всех случаях разный. На рис. 3.21, б равновесие неустойчиво: достаточно небольшого отклонения от точки равновесия, чтобы начался незатухающий колебательный процесс, изображаемый эллипсом. Точку равновесия такого типа называют центром.

Если же процесс носит затухающий колебательный характер (см. рис. 3.22, б), то после отклонения от точки равновесия представляющая точка совершает на фазовой плоскости несколько оборотов вокруг точки равновесия и снова возвращается в нее. Такую точку равновесия называют устойчивым фокусом.

Если представляющая точка возвращается в состояние равновесия, не совершая более полуоборота вокруг начала координат, то такую точку равновесия называют устойчивым узлом (рис. 3.24).

Рис. 3.24. Процесс регулирования в САР, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка (а) и изображение его на фазовой плоскости (б).

Точка равновесия является устойчивым узлом На рис. 3.25 приведена модель САР, содержащей три последовательно включенных инерционных звена, а также представлено изображение процесса регулирования в данной САР на фазовой плоскости в пакете MATLAB, Simulink. Параметры звеньев САР также указаны на рис. 3.25.

Рис. 3.25. Изображение модели САР и процесса регулирования на фазовой плоскости в пакете MATLAB.

Для изображения процесса использован виртуальный графопостроитель XYGraph, имеющий входы X и Y, что позволяет строить графики функций в полярной системе координат. На вход X подается регулируемая величина, а на вход Y — ее производная. Стрелки, показанные на рис. 3.25, MATLAB не наносит. Они нанесены вручную для наглядности.

Процесс регулирования в САУ, описываемой дифференциальным уравнением третьего порядка, изображается не на фазовой плоскости, а в трехмерном фазовом пространстве.