Накопительные счета в схеме простых процентов: динамическая модель роста

Одним из наиболее распространенных применений простых процентов являются так называемые накопительные или сберегательные счета. Они относятся к более широкому классу счетов, вкладов или депозитов до востребования, и, следовательно, не имеют определенного срока. Таким образом, вкладчик может изъять весь вклад или его часть в любое время. За эту возможность (опцион) вкладчик платит снижением процентной ставки по сравнению со срочным депозитом, т. е. вкладом на определенный срок.

Хотя внешне накопительный вклад определяется как один контракт, т. е. как одна сделка, с формальной точки зрения ее можно рассматривать как потенциальный простой класс из бесконечного числа простых сделок. Пусть вкладчик открывает счет в момент времени t₀ с начальной суммой S_t . Тогда любому ?>0, учитывая возможность изъятия вклада в этот момент времени, соответствует некоторая потенциально возможная срочная сделка с периодом р₀, г].

Естественно, с течением времени сумма вклада растет, так что к моменту времени t состояние счета описывается величиной (суммой) S_t. Если i — процентная, например годовая, ставка по вкладу и время также измеряется в годах, то динамика накопления описывается уравнением.

или.

где.

— коэффициент роста (наращения), а Т = t-t₀ — срок в годах.

Уравнение (5.1) обычно трактуется как динамическая модель роста накопительного счета. В модели (5.1) время Т теоретически принимает любые неотрицательные вещественные значения.

Динамическая (накопительная) модель используется для определения так называемых накопленных процентов в сделках с упоминавшимися выше процентными бумагами, такими, как депозитные сертификаты, облигации и др.

Процентные бумаги имеют в качестве обязательных реквизитов номинальную стоимость (номинал) и процентную ставку, называемую в этом случае купонной. Выплата процентов или, как еще говорят, купонного платежа осуществляется эмитентом ценной бумаги во вполне определенные моменты времени, например для депозитного сертификата — это момент погашения, а для облигации — концы так называемых купонных периодов. Такие платежи можно рассматривать как выплату процентов по простой кредитной сделке с начальной суммой долга, равной номиналу ценной бумаги, и сроком, равным длине купонного периода. В этом случае говорят о выплате полного купона. Если же ценная бумага продается до погашения между купонными выплатами, то в цене продажи учитываются накопленные по купонной ставке (за период от последнего купонного платежа до момента продажи) проценты к номиналу ценной бумаги. Таким образом, покупатель ценной бумаги выплачивает продавцу, кроме номинальной стоимости ценной бумаги, накопленные проценты (неполный купон). Покупатель вернет эту сумму (накопленные проценты) при очередной выплате купонов.

Заметим, что к счетам до востребования кроме накопительных счетов относятся также так называемые расчетные или текущие счета фирм и частных лиц. В отличие от накопительных счетов их цель состоит в осуществлении текущей деятельности, в постоянно возникающих расчетах, оплате товаров, услуг и т. п. Эти счета доступны в любое время как для перечисления, так и для снятия средств. Как правило, проценты по этим счетам не начисляются. Однако следует сказать, что в последнее время многие финансовые учреждения Запада открывают для своих клиентов счета, позволяющие объединить накопительную и расчетную функции. Это относится и ко многим отечественным банкам. При этом требуется поддержание определенного минимума остатка средств на счете, и ставка, но таким счетам намного ниже, чем по сберегательным.

Наконец, отметим, что классический срочный вклад (срочный депозит) также является примером простой кредитной сделки с заранее определенным сроком. Таким образом, теория простых процентов изучает все многообразие различных видов краткосрочных кредитных операций.

Вернемся снова к формуле (5.1), описывающей динамику накопления. Заметим, что эта формула была получена в предположении, что период, по отношению к которому указывалась процентная ставка — период начисления совпадал с единицей времени, а именно задавалась годовая процентная ставка и время измерялось в годах. Снимем теперь это ограничение и рассмотрим более общий случай.

С формальной точки зрения модель накопительного счета описывается следующим образом. Во-первых, фиксируется временная шкала — Г. Во-вторых, задается так называемая ставка начисления, характеризующая динамику роста накопительного счета. Ставка начисления включает в себя указание периода начисления h и числового значения ставки за этот период. Таким образом, в математическом плане ставка начисления представляет собой пару (//, г).

Для того чтобы подчеркнуть привязку числового значения ставки i к конкретному периоду /?, в формулах это значение записывается в виде i_h. Это индексное обозначение содержит упоминание как о величине ставки, так и о ее периоде, и потому мы будем использовать его наравне с каноническим обозначением в виде пары (h, ij. Наконец, последним элементом формального описания модели накопительного счета является уравнение динамики счета.

Заметим, что здесь все временные характеристики заданы в выбранной временной шкале. В частности, h есть период (в смысле длины) начисления относительно единичного (базового) периода временной шкалы. Тогда величина.

будет равна продолжительности накопления в единицах периода начисления. В случае если период начисления будет совпадать с единичным периодом временной шкалы, то h = 1 и формула (5.4) примет вид формулы (5.1). Заметим, что формулой (5.1) мы можем пользоваться и в общем случае, если определим нормированную ставку начисления как ставку, относящуюся к единичному (базовому) периоду временной шкалы и равную.

Определение нормированной ставки начисления вполне аналогично определению нормированной ставки сделки из предыдущей главы. Задание ставки начисления на практике обычно сопровождается явным указанием периода начисления, к которому она относится. Так, говорят о 10% в год или 10% годовых, 5% в месяц и т. д. Соответствующая нормированная ставка также сопровождается указанием единичного периода, к которому она относится. Если шкала годовая, то нормированная ставка будет годовой.

Рассмотрим теперь простой пример накопительного счета.

Пример 1. Вкладчик открывает накопительный счет с начальной суммой 500 руб., и пусть для простоты t₀ =0. Годовая процентная ставка равна 12%. Какова величина счета: через месяц, год, два года, 10 лет?

Решение. Ставка начисления, по условию, задана как годовая. Проще всего в этом случае в качестве временной шкалы взять годовую шкалу. Тогда, используя уравнение (4.1), получим величину вклада:

а) через месяц.

б) через год.

в) через два года.

г) через 10 лет.

Заметим, что совершенно тот же результат можно получить в примере 1, если в качестве ставки начисления задать месячную ставку, равную 1%. В этом случае для годовой шкалы соответствующая нормированная годовая ставка будет равна 12%. Очевидно, что результат накопления по 12%-ной годовой и 1%-ной месячной ставкам будет один и тот же, и в этом смысле данные ставки считаются эквивалентными. Это замечание приводит к общему понятию эквивалентности ставок начисления.

Определение 1. Ставки (h, i) и (/^, i₂) называются эквивалентными, если порождаемые ими процессы накопления с одним и тем же начальным состоянием (в заданной временной шкале) тождественны, т. е.

Из этого определения немедленно следует, что ставки эквивалентны, если.

иными словами, если совпадают нормированные ставки начисления. При этом данная общая нормированная ставка является ставкой начисления за единичный период временной шкалы, эквивалентной исходным ставкам.

Таким образом, нормированная ставка i порождает семейство эквивалентных ей ставок начисления i_h — h_r Так, в годовой шкале эквивалентными будут ставки (1; 12%), т. е. 12% в год, (½; 6%), т. е. 6% за полугодие, (¼; 3%), т. е. 3% в квартал и (1/12; 1%), т. е. 1% в месяц.

Заметим, что в рамках накопительной модели ставку начисления /г, за любой период h можно рассматривать как ставку сделки c_h с началом в момент времени ?₀, концом в момент времени t₀+h (т.е. со сроком /г), начальной суммой 5₀ =Р и конечной суммой S_h =5, определяемой формулой (5.4):

В этом случае нормированная ставка начисления совпадает с нормированной ставкой сделки. Поэтому в дальнейшем при описании накопительных моделей в качестве ставки, определяющей динамику роста счета, мы будем использовать, как правило, нормированную ставку.

Важное замечание. Нормированную годовую ставку соответствующую заданной ставке начисления обычно называют поминальной годовой ставкой с'.заданным периодом начисления (или кратностью начисления т = 1 /И) и обозначают t_(h) или И^т Обычно данная терминология используется в схеме сложных процентов, там эта ставка противопоставляется эффективной годовой ставке г’эф. В схеме простых процентов соответствующая эффективная ставка в том смысле в каком эта она понимается в схеме сложных процентов (т.е. фактическая процентная ставка) просто совпадает с нормированной годовой ставкой. Наконец номинальная ставка как оппозиция к эффективной ставке не совпадает с номинальной ставкой как оппозиции к реальной (т.е. учитывающей инфляцию) ставке, которую мы упоминали в конце третьей главы, анализируя влияние инфляции на эффективность кредитной сделки.

Пример 2. Найти месячную ставку, эквивалентную простой годовой ставке, равной 10%.

Решение. Обозначим месячную ставку через /_1/12, что соответствует ставке для 1/12 года. Вкладывая, например 1 долл, на 1 год иод 10% годовых, имеем, что.

С другой стороны, эта финансовая операция, если базовая единица времени есть 1 месяц, равносильна инвестированию 1 долл, на 12 месяцев по ставке г_1/12. Тогда наращенная сумма будет равна 1 + 12 i_1/12. Так как мы имеем одну и ту же финансовую операцию, то наращенные значения в обоих случаях совпадают, поэтому.

или

Отсюда следует, что или 0,83% месячных.

В модели накопительного счета особенно легко интерпретируется понятие накопленного (наращенного) значения и соответствующего оператора FV_t. В силу самого смысла накопительного счета, его состояние S_t в момент времени t представляет собой результат накопления за счет начисления процентов на вклад за период [?₀, ?]. Таким образом, смысл равенства.

где коэффициент роста a{t₀, г) определяется формулой (5.3), становится очевидным. Здесь очень важно, что это равенство определено для всех t >t₀, т. е. о величине или состоянии счета можно говорить в любой момент времени, следующий за начальным.

Рассмотрим теперь накопительную модель, задаваемую уравнениями (5.1)—(5.3) и (5.6), более подробно.

Коэффициент роста инвариантен относительно сдвига на любой период к.

Эта инвариантность обусловлена тем, что коэффициент роста зависит, по существу, не от моментов времени t_Q, t, а от расстояния T = t-t₀ между ними, т. е. от длины промежутка [г₀, г]:

Здесь.

• — стандартный (одномерный) коэффициент роста. Хотя общий (двумерный) коэффициента (?₀, tj и стандартный
• (одномерный) коэффициент а_Т — безусловно различные объекты, так как первый является функцией двух переменных, а второй — функцией одной переменной, мы будем обозначать их одной и той же буквой а в тех случаях, когда это не будет приводить к недоразумениям.

Таким образом,

и.

В дальнейшем для простоты начальный момент сделки t₀ будет часто отождествляться с началом временной шкалы, т. е. будет полагаться ?₀=0. В этом случае формулы (4.7) и (4.8) примут простой вид:

и.

Вернемся теперь к соотношению (5.1), или, что-то самое, к уравнению (5.8), описывающим динамику накопительного счета, и покажем, что процентная ставка i задает его относительную скорость роста.

В самом деле, полагая в выражении (5.10) 5₀ =1, получим.

Из формулы (5.9) немедленно следует, что.

Таким образом, процентная ставка г действительно определяет скорость роста единицы вклада или относительную (по отношению к начальной величине) скорость роста вклада.

Следует отметить, что здесь мы дали еще одну интерпретацию нормированной процентной ставки дополнительно к тем двум ее толкованиям, которые были даны в параграфе 2.2. Следовательно, подводя итог, можно сказать, что нормированная процентная ставка имеет три важнейшие интерпретации. Во-первых, она определяет (для должника) стоимость кредитных ресурсов на кредитном рынке. Во-вторых, для кредитора она характеризует доходность {эффективность) использования свободных (или привлеченных) средств. Наконец, в-третьих, в накопительных моделях она характеризует относительную скорость роста счета {вклада).

Пример 3. Сумма в 1000 руб. вкладывается в момент времени t_n =0 под 10% годовых: а) на 2 года, б) на 1 год, по истечении которого наращенная сумма вкладывается (реинвестируется) еще на 1 год. Найти для обоих случаев наращенную сумму S₂ на конец 2-го года.

Решение. В нервом случае наращенная сумма за 2 года, согласно формуле (4.1), будет равна.

Во втором случае наращенная сумма за 1-ый год равна.

Теперь, если сумма 5, вкладывается еще на 1 год под те же 10% годовых, то по истечении 2-го года получим сумму.

г. е. во втором случае, когда после 1-го года наращенная сумма была реинвестирована, мы получили сумму 5₂, накопленную за 2 года, равную 1210 руб., что не совпадает с результатом S₂ = 1200 руб. для первого случая.

В заключение остановимся кратко на геометрической интерпретации, отражающей движение во времени накопительного счета.

Динамику накопительного счета можно наглядно изображать соответствующей траекторией на фазовой плоскости «время — деньги». В силу линейности закона накопления такая траектория будет представлять собой луч с вершиной.

(?₀, 5₀) и угловым коэффициентом iS₀, где (?₀, 5₀) — начальное состояние счета (рис. 5.1).

Рис. 5.1.

Пожалуй, самым существенным свойством процесса накопления в схеме простых процентов — это его в некотором смысле абсолютная привязанность к начальному состоянию. Как мы увидим ниже, траектории двух процессов с разными начальными состояниями не могут иметь общего продолжения, ни даже общего участка траектории. Они могут лишь пересекаться в одной-единственной точке. Таким образом, процесс накопления в схеме простых процентов всегда «помнит свой день рождения».

Заметим, что два состояния процесса, порождаемого данным вкладом, в свою очередь, будут порождаться начальным состоянием (?₀, 5₀) и, следовательно, будут лежать на одной траектории, если t_v t₂ >t₀ и.

откуда следует

Отметим также, что вклады с одной и той же ставкой i, но разными начальными состояниями могут иметь пересекающиеся траектории. Пересечение будет возникать, если уравнение.

имеет решение

Легко доказать, что при заданном начальном состоянии.

{t^, 5q J любое другое начальное состояние SJ), лежащее внутри сектора, ограниченного траекторией с начальным состоянием (?q, S'₀) и горизонтальным лучом S = Sq, порождает траекторию, пересекающую траекторию с начальным состоянием (t'₀₉ SqJ (рис. 5.2).

Рис. 5.2.

Пример 4. Пусть счет с начальной суммой 100 руб. при годовой ставке 20% открывается в момент времени t'₀. Спустя год открывается счет с начальной суммой 110 руб. и с той же ставкой. Найти момент времени, когда накопленные суммы на обоих счетах сравняются.

Решение. Динамика этих счетов описывается уравнениями и.

Накопления на обоих счетах совпадут в момент времени t, определяемый уравнением.

откуда следует, что t = б.