Логика в категориях

пятая. Логические исчисления в категориях предпорядка с функторами

Классическая логика в N-категориях

Любое предупорядоченное множество можно рассматривать как категорию. Ее объектами будут его элементы и для любой пары объектов (а, Ь), существует не более чем одной стрелки а —> b в точности тогда, когда а < Ь.

Именно подобные категории предпорядка и позволяют решить нам проблему, связанную с формулировкой классической логики с полным набором связок. Дело в том, что при попытке сконструировать дедуктивное исчисление для классической логики мы сталкиваемся с тем обстоятельством, что у нас нет метода для интерпретации отрицания. В случае позитивных логик этой проблемы не возникало ввиду отсутствия отрицания, а в случае интуиционистского исчисления отрицание, как известно, может быть сконструировано с помощью константы «ложь» и импликации.

Чтобы обойти эту трудность, снабдим нашу категорию предпорядка функтором, передающим свойства логической операции отрицания (см. [Riscos Laita 1987]). Выбор категорий предпорядка выгоден здесь именно тем, что в силу единственности стрелок мы сразу можем говорить и о дедуктивных исчислениях и о категориях, поскольку мы не будем нуждаться в тождествах на стрелках: все стрелки единственны.

Определение 1. N-категория С представляет собой категорию предпорядка, снабженную контравариантным функтором N: С—> С, такую, что:

[Na, b] = 1 для любых двух объектов а, b из С.

Заметим, что скелетом N-категории будет булева алгебра.

Любая N-категория С обладает, как нетрудно видеть, следующими свойствами:

• (1) С имеет начальный объект 0 = А/1.
• (2) С имеет конечные копроизведения {a, b) = N [Na, Nb] (закон де Моргана).
• (3) С дистрибутивна, т. е. [(а, Ь),(а, с)] = [а, (6,с)].
• (4) С имеет псевдодополнения (с есть псевдодополнение а относительно b, если выполняется следующее свойство: для любого jc в С, х -" с есть стрелка в С тогда и только тогда, когда {ауХ) —> с есть стрелка в С). [А/я, 6] является псевдодополнением а относительно с с точностью до изоморфизма.

Дадим интерпретацию в терминах N-категорий следующему списку аксиом:

и правило модус поненс:

Заметим, что если аир суть формулы, то, а v р, а л Р, -.а и, а —> р также будут формулами, в то время как если а и b являются объектами в С, то [а, Ь]₉ (а, Ь)и Na тоже будут объектами, но, а -" Ъ уже представляет собой стрелку, а не объект. Так как логически, а -> р эквивалентно -а v Р, то представляется естественным предложить следующий список в качестве словаря перевода высказываний в N-категории:

По причине, указанной выше, псевдодополнение [Л/я,Ь] будет обозначаться как а=> Ь, так что (iv) перепишется теперь как.

Данный перевод позволяет нам отождествить объекты в С и индивидуальные высказывания. Напомним, что в булевой алгебре имеет место процедура отождествления элементов алгебры и классов эквивалентных высказываний; в С эквивалентным высказываниям отвечают изоморфные объекты.

Теперь процесс интерпретации аксиом и правил вывода, приведенных выше, становится ясным. Например, интерпретацией аксиомы (IV) будет следующее выражение:

Но утверждать, что это есть аксиома, равносильно тому, что сказать.

что по (iv') дает нам.

Осуществляя подобные преобразования, мы получаем из списка логических аксиом следующий список:

и правило модус поненс: если а = 1 и я —> 6, то 6 = 1.

Характеристика как правила модус поненс, так и аксиомы (XII) очевидна.

Рассмотрим теперь алгебраические свойства N-категорий. Введем с этой целью понятие N-функтора. Его определение будет выглядеть следующим образом:

Определение 2. Пусть С и С' будут две N-категории (с функторами N и N' соответственно). N-функгором F.C -" Сбудет называться функтор, для которого имеет место (для а, Ь, в С и для Г в.

су.

С помощью соответствующей модификации метода дедекиндовых сечений для N-категорий [Riscos Laita 1987, с.510] доказываются следующие два предложения (упражнение для читателя):

Предложение 1. Каждая N-категория имеет полное расширение (полнота означает здесь наличие бесконечных копроизведений).

Предложение 2. Пусть А, В, Е будут К-категориями, причем В есть расширение, А и Е полна. Любой N-функтор F: А —> Е может быть расширен до N-функтора Н: В —> Е.