Аномальная диффузия: суб-и супердиффузия

Основной закон броуновского движения в однородной среде — гауссова форма диффузионного пакета (и его расплывание по закону f¹/²) установлен давно, но в 1926 г. было обнаружено, что в условиях турбулентной.

среды диффузионный пакет расплывается по закону t² =tyft, т. е. значительно быстрее, чем при классической диффузии. Позднееотклонения от классических законов миграции были обнаруженыи в других системах.

Класс явлений, в которых средний квадрат смещений не является линейной функцией от времени, а описывается степенным законом был назван аномальной диффузией, которая может быть двух типов — супердиффузия (ускоренное блуждание) и субдиффузия (замедленное блуждание).

Рис. 20. Средний квадрат смещения 2(f)> для различных типов диффузии: 1 — нормальная диффузия; 2 — субдиффузия; з — супердиффузия.

Появление в уравнении диффузии двух новых параметров — дробных порядков пространственной (а) и временной (р) производных — значительно расширило семейство решений диффузионного уравнения, сохранив формально его вид. Важнейшим качеством новых решений — степенной закон их асимптотик. Интегродифференциальный характер дробных производных операторов позволяет описать пространственновременные нелокальные процессы переноса, в которых поток в данной точке зависит не только от поведения функции в окрестности рассматриваемой точки х, но и от принимаемых ею значений на всем исследуемом интервале значений а*, т. е. зависит глобально от пространственного распределения частиц и от предыстории транспортного процесса.

Замечание. При описании диффузионных процессов значения, а находятся в интервале о<�р<1, при р=1 имеем классическое уравнение теплопроводности параболического типа; в интервале 1<�р<2 имеет место переход от диффузионного уравнения к волновому, т. е. происходит перемещение по детерменированному хаосу (частичноупорядоченным системам) от идеального беспорядка к идеальному порядку), при р=2 имеем волновое уравнение гиперболического типа.

Возможен переход от субдиффузии (Pi). Тип аномальной диффузии определяют по показателю v=p/a в законе расширения пакета r~t^v— субдиффузия при v<0,5. Процесс с v=0,5, р*2 лучше называть квазинормальной диффузией, поскольку форма диффузионного пакета в этом случае отличается от нормальной. Для сред с фрактальной размерностью I<2pw2-d/. Часто изменение параметра, а компенсируется изменение коэффициента диффузии. С изменением р меняется и размерность коэффициента диффузии, однако невозможно оценить это изменение количественно. Форма пакета отличается от нормальной и лишь при р=2, a=i совпадает с ней (квазинормальная диффузия становится нормальной). В случае a-i — быстрее (супердиффузия). Во всех остальных случаях условие р<1 порождает супердиффузию.

Замечание 1. Уравнения дробного порядка как по времени, так и по координатеиспользуются для учёта эффектов памяти. Память и пространственные корреляции существенны для объектов, обладающих сложной пространственной структурой и многофазным составом. К таким системам относятся среды с фрактальной структурой, для которых характерно наличие развитой межфазной границы. Здесь не выполняется принцип локальной равновесности и необходимо привлекать дробные размерности, имеющие свойства самоподобия. Учёт эффектов памяти (временная нелокальность) и пространственных корреляций (пространственная нелокальность) приводит к появлению в дифференциальных уравнениях интегрального оператора, ядро которого несёт информацию о природе нелокальности. При этом возможны режимы супердиффузии и субдиффузии, связанные соответственно с прыжковым механизмом переноса и наличием ловушек в среде. Влияния нелокальности по времени и нелокальности по координате на распределение концентрации качественно отличаются. Нелокальность по времени влияет на распределение концентрации в начальное время, а нелокальность по пространству влияет на асимптотическое поведение распределения концентрации при больших временах. Учёт нелокальности по времени приводит к смещению максимума распределения концентрации в область меньших значений координаты.

Рис. 21. Полёты Леви: кластеры и скачки, a=i, 5, N=io*.

Дисперсия конечна при а=2 и бесконечна при а*2 при любом р. Ширина диффузионного пакета растёт пропорционально t^p/". При р<2а имеет место субдиффузионный режим, при Р>2а супердиффузионный, при р=2а — нормальный режим, а при а<2 — квазинормальный режим. Траектории подчиненного Леви-движения характеризуется скачками (разрывами) не только вдоль координатных осей, но и вдоль оси времени, застревая в ловушках. Распределение времени пребывания в них имеет не экспоненциальный, а обратностепенной вид, что свидетельствует о немарковском процессе (процессе с памятью). При а=2, р=1 обобщённое уравнение диффузии описывает движение Броуна, а при а<1, р=1 — движение Леви, отличающееся от броуновского многочисленными разрывами траектории вдоль оси л:. До тех пор производная по * имела целый (второй) порядок разрыва, разрывов не было (существовали только изломы), порядок производной стал дробным — появились разрывы. Распределение скачков координаты в этих разрывах степенное, поэтому разрывы видны на разных масштабах. Процесс, в котором диффузионный пакет расширяется быстрее, чем в нормальном случае, т. е. пропорционально t^v с v>o, 5, принадлежит классу супердиффузионных. Превращение первой производной (P=i) производной по времени в дробную (P<1, |3<1 вместо траектории имеют место сгустки точек — кластеры, разделённые между собой областями перелётов и пребывания в ловушках. Распределение времени пребывания в ловушке в асимптотике приобретает вид распределения Леви. Параметр, а (ка<2) связан с фрактальной структурой среды. Для сред с фрактальной размерностью i<2 а"2-d/. Конкуренция между фрактальностью среды и её памятью и определяет конкретный тип аномальной диффузии.

Субдиффузия протекает намного медленнее классической диффузии, поскольку диффузант захватывается ловушками (дефектами, турбулентными вихрями, адсорбционноили химически активными центрами), уходит в боковые, тупиковые пути, и на некоторое время или навсегда выводится из миграционного процесса. Наоборот, сушердиффузия осуществляется со скоростями, существенно превышающими классическую диффузию. Этот режим наблюдается, если в системе есть облегчённые пути (например, трещины) или присутствуют процессы случайной или направленной адвекции (увлечение диффузанта потоками флюидов).

В более развитой модели случайных прыжков случайное блуждание непрерывно во времени: временные интервалы между' двумя скачками более не фиксированы; теперь они подчиняются функции распределения вероятностей. Полная модель предполагает две таких функции: одна для временных интервалов (или времён «ожиданий», т. е. времен между двумя скачками подряд), другая — для длины прыжка. Пока эти плотности вероятностей являются гауссовыми, формула Эйнштейна-Смолуховского остается в силе: квадратный корень из времени выполняется. Однако возможны другие виды плотностей распределения, например, степенное распределение временных интервалов.

С физической точки зрения, определённая таким образом дисперсия характеризует объём пространства, который посетила частица при своём блуждании. При v=o, 5 — классическая (гауссова) миграция, дисперсия конечна, при v*o, 5 — дисперсия бесконечна.

Во многих ситуациях скачки частицы не независимы во времени, они подвержены автокорреляции; вероятность наступления крайних событий выше, чем ожидалась при нормальным распределении. Для описания подобных ситуаций используются распределения вероятностей, которые имеют более высокий «пик» (как следствие автокорреляции) и более «высокие хвосты» (вследствие частоты крайних значений). Здесь особенно полезны семейства распределений, которые характеризуются несколькими параметрами, например, устойчивые распределения. Выражение для вероятности скачков при числе скачков, стремящихся к бесконечности, зависит от «радиуса действия» этого распределения вероятности: если у него «короткий» шаг, то наблюдается нормальная диффузия Гаусса (броуновское движение). Если же диффузионный скачок «длинный» — то получаем аномальную диффузию Леви («длинные перелёты», фрактальные кластеры, супердиффузию т.п.).

Рассмотрим теперь некоторые особенности суби супердиффузии.

Субдиффузия — случайные блуждания, при которых скорость роста среднеквадратичного смещения частиц с течением времени не остается постоянной, как у обычной диффузии, а монотонно уменьшается и, в конце концов, перестает зависеть от времени. Известно два класса субдиффузионных процессов: стационарные и нестационарные. В ходе стационарной субдиффузии подвижность частиц не изменяется. Замедление диффузии — следствие отрицательных корреляций скорости, которые обусловлены либо наличием пространственных ограничений, либо взаимодействиями с окружающей средой. Нестационарная субдиффузия — это результат снижения со временем подвижности частиц, которое объясняется наличием разного рода ловушек. Нестационарная субдиффузия — результат снижения со временем подвижности частиц, из-за наличия процессов захвата молекул диффузанта ловушками. Модель случайных барьеров, описывающая стационарную субдиффузию, и модель случайных ловушек, описывающая нестационарную субдиффузию, при соответствующих значениях параметров дают одну и ту же функцию распределения. Обычно субдиффузию трактуют как диффузию по фракталам (пример — проницаемость перколяционных структур).

Для описания процессов субдиффузии используют интегродифференциальное уравнение, с производной по времени дробного порядка, р, которая зависит от фрактальной размерности среды. Процесс субдиффузии нелокален по времени, а фрактальная среда, в которой он происходит, —среда с памятью.

В отличие от диффузии в однородной среде случайное блуждание на фракталах чувствительно к мерности пространства. В плоскости все транспортные пути сильно продублированы, в то время как в трёхмерном пространстве пути имеют одножильный характер. Изменение характера диффузии обусловлено сложной геометрией путей (извилистость, тупики, ловушки). В случае блужданий на фракталах супердиффузионного режима не возникает, т.к. в режиме фрактальной диффузии блуждающая частица после вылета с точки старта всегда может уйти на большое расстояние, тогда как в случае блуждания на фрактале она оказывается запертой между соседними кластерами, совершая между ними большое число переходов.

При автомодельной субдиффузии наличие ловушек приводит к расходимости среднего времени ожидания скачков =x, благодаря чему последние приобретают дискретный характер в пространстве, происходит замедление процесса переноса и в конце концов миграция перестаёт зависеть от времени. Если аномальная диффузия имеет смешанное происхождение, то участки нелинейных зависимостей для её стационарной и нестационарной составляющих могут не совпадать. В некоторых случаях они могут вообще не перекрываться.

В сплошной среде средний квадрат расстояния, на которое удаляется от исходной точки случайно блуждающая частица, пропорционален времени, а во фрактальной среде случайно блуждающая частица удаляется от места старта медленнее, так как далеко не все направления для неё доступны: извилистый канал выбирает из множества направлений лишь малое подмножество разрешенных направлений. Средний квадрат расстояния для фрактальной среды пропорционален дробной степени времени, показатель которой связан с фрактальной размерностью среды. Множество препятствий (узких мест, крутых поворотов и тупиков) затрудняют продвижение частиц и замедляют диффузию. Отсюда и дробные показатели. В ветвящихся фрактальных структурах (типичным примером является гребешковая структура, в которой к проводящей оси перпендикулярно прикреплены уходящие на бесконечность ребра) реализуются сверхмедленные процессы переноса. К ним относятся системы, содержащие в себе каналы, входящие в состав ветвящейся фрактальной структуры: кластеры дефектов или областей сильного разупорядоточения, перколяционные и пористые среды. В уравнениях, используемых для описания субдиффузии, показатель дробной производной по времени соответствует доли каналов (ветвей), открытых для миграции.

Разные причины приводят к замедлению диффузии: статический или динамический беспорядок, вязкоупругость и др. Типичным примером субдиффузии является процесс диффузии радона во фрактальной пористой среде, протекающий медленнее обычного режима диффузии, т.к. фунт обладает сложной топологией каналов между порами. Каналы изгибаются, сильно изрезаны, иногда разрываются, поэтому процесс переноса радона замедляется.

Супердиффузия (v>o, 5) идёт существенно быстрее классической миграции. Здесь частица в дискретные моменты времени совершает скачки произвольной длины, характеризуемые расходящимся среднеквадратичным смещением = со; миграция со временем ускоряется и может стать бесконечно большой; последовательные положения блуждающей частицы образуют кластерную структуру, представляющую фрактальное множество, размерность которого связана cv. Поскольку фрактал образуется в результате иерархического построения, то поведение стохастической системы определяется не только смещением частицы в пространстве, но и намного более медленной эволюцией кластеров её последовательных положений.

Супердиффузия относится к фрактальной диффузии.

Припоказателях производных (5<1,а<1 вместо траектории возникают сгустки точек — кластеры, разделенные между собой областями перелётов и пребывания в ловушках. С уменьшением ppd/становятся всё более узкими и высокими в центральной части и в то же время всё большая доля вероятности перемещается из промежуточной области в хвосты. При р=1 имеем pdf Коши. На больших расстояниях рс/^убывает степенным образом.

Распределение блужданий Леви имеет медленно спадающую асимптотику и значительное количество больших флуктуаций. Если для гауссова распределения доля флуктуаций, превосходящих ю дисперсий, равна 2ег/с (ю)"10~⁴², то количество флуктуаций, превосходящих среднее в ю раз, например, для a=i равно ол, т. е. в ю⁴¹ раз больше. Коэффициент, а характеризует неоднородность среды, в которой происходит перенос вещества, показатель асимметрии — анизотропность этой среды. Даже небольшое отклонение параметра a (ка²) от значения а=2 (закон Фика) резко уменьшает время, требуемое для уменьшения концентрации частиц.

При супердиффузии частица в дискретные моменты времени совершает скачки произвольной длины, характеризуемые расходящимся среднеквадратичным смещением <�г²>= со; миграция со временем ускоряется и может стать бесконечно большой; диффузионный фронт распространяется в пространстве быстрее, чем при классической диффузии, причём возможно явное проявление асимметрии процесса; последовательные положения блуждающей частицы образуют кластерную структуру, представляющую фрактальное множество, размерность которого связана со степенным показателем (р—фрактальная размерность множества кластеров). Кластеры разделены большими расстояниями, которые соответствуют стабильным участкам. Особенность траекторий в том, что точки, группирующиеся в кластеры, образуют стохастические фракталы. Кластер в свою очередь состоит из кластеров меньшего масштаба, и так далее. Поскольку' фрактал образуется в результате иерархического построения, то поведение стохастической системы определяется не только смещением частицы в прямом пространстве, но и намного более медленной эволюцией кластеров. Плотность вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства медленно убывает с расстоянием от точки старта, так что для частицы становятся вероятными «дальние» скачки (полёты Леви). На пути к стационарному распределению обнаруживается пороговое явление, состоящее в резком переходе от одного режима диффузии к другому: на смену диффузии с экспоненциальным фронтом и непрерывными траекториями частицы приходит степенной фронт с разрывными траекториями (полетами) этой частицы.

Рис. 22. Развитие концентрационных полей (в виде p (x, t) во времени — решения уравнений с дробными производными по координате (|J=i) при значениях а=1,1 (а), 1,25 (б), 1,5 (в) и 1,95 (г); времена диффузии t= 1(1), 2(2) и 3(3).

На рис. 22 плотности распределений вероятности представлены для различных значений, а в момент времени t= 1 и для различных времён t при a=i, 5. Здесь везде среднее значение распределения р=о, но локализация основной массы плотности вероятности (мода) распределения смещается влево при изменении, а от 1 к 2. При а—>2 возникает распределение Гаусса, а при a-«i распределение становится похоже на дельта-функцию, перемещающуюся влево. В пределе при р-«1 и a=i возникает полностью асимметричное распределение.

Супердиффузия осуществляется со скоростями, существенно превышающими классическую диффузию. Этот режим наблюдается, если в системе есть облегчённые пути (например, трещины) или присутствуют процессы случайной или направленной адвекции (увлечение диффузанта потоками флюидов). Примерами супердиффузии (a> являются турбулентные среды (газ, жидкость, плазма (01=1,5−1,7)), хаотические структуры, финансовые рынки, движение фуража (a=i, 7), процессы адвекции и др.

При супердиффузии на всех масштабах наблюдаються пустоты вперемежку со сгущениями, т. е. перемежаемость.

Перемежаемость- вид стохастических колебаний, при которых сигнал, развивающийся во времени почти периодически (ламинарные фазы движения), случайным образом сменяется короткими турбулентными вспышками.

При перемежаемости, в каком бы масштабе не наблюдать распределение точек по оси, оно выглядит прерывистым. Области сгущения сменяются (перемежаются) пустотами. Это — стохастический фрактал с фрактальной размерностью, которая совпадает с порядком дробной производной в диффренциальном уравнении, описывающем диффузию. В больших масштабах распределение точек выглядит однородным. Такие свойства интерпретируются как фрактальность среды (наличие больших пустот на всех масштабах) и память частицы (вероятность покинуть ловушку в единицу времени зависит от того, когда частица в неё попала). В режиме перемежаемости движение состоит из точек относительной неподвижности, фиксаций, и быстрых скачков по пространству. Такая динамика относится к механизму розового «взрывного» шума, в котором периоды стабильности сменяются этапами частой смены амплитуды. Траектория образует отчётливые кластеры, группы, которые соответствуют «взрывным» периодам во фликкер-шуме.

Кластеры разделены обширными дистанциями, которые соответствуют стабильным участкам шума. Особенность траекторий в том, что точки, группирующиеся в кластеры, образуют стохастические фракталы. Кластер в свою очередь состоит из кластеров меньшего масштаба, и так далее. Распределение блужданий Леви имеет медленно спадающую асимптотику и значительное количество больших флуктуаций. Если для гауссова распределения доля флуктуаций, превосходящих ю дисперсий, равна 2ег/е (ю)"10−4², то количество флуктуаций, превосходящих среднее в го раз, например, для р=1 равно 0,1, т. е. в ю-н раз больше.

Рис. 23. Случайные процессы с перемежаемостью (ловушки и полеты Леви).

и.иПримеры аномальной диффузии Геометрическая структура диффузионного фронта. При взаимной случайной миграции граница раздела взаимопроникающих сред имеет фрактальный характер.

Фрактальная граница двух соприкасающихся сред моделируется пространственно самоподобной системой складок, разделяющей среды. Такая поверхность обладает конечным объёмом, который отождествляется с физическим объёмом пограничного слоя. Особенность фрактальной границы заключается в том, что эффективный коэффициент диффузии газа, определяющий процесс массопереноса через неё, может стать равным нулю, так что диффузия через границу полностью прекращается.

Рис. 24. Структура диффузионного

фронта.

Диффузионный фронт (скорлупа) — самоподобный фрактал. Координата скорлупы л: определяется как средняя координата всех узлов, принадлежащих скорлупе, вдоль направления диффузии. Фрактальная размерность её cfyопределяется из формулы где s — ширина полосы, перпендикулярной оси л, M (s) — число узлов скорлупы в этой полосе. Теория скейлинга даёт точное значение фрактальной размерности скорлупы dj= 7/4=1,75 ^и приводит к степенным зависимостям числа узлов в скорлупе и ширины скорлупы от времени (числа шагов): M~/V^a, o~NP, 0=3/14*0,2143, (3=2/7*0,2857. Зависимость x (N) также степенная с показателем степени ?*0,5. Скорлупа является неустойчивым образованием и может сильно исказиться за один шаг. Но её средняя координата меняется очень медленно при достаточно большой диффузионной длине.

Взаимная диффузия вязких жидкостей приводит к образованию «вязких пальцев», что учитывают при создании математических моделей.

Рис. 25. Траектории случайного блуждания в пористом стекле самоподобной структуры (стекло Леви): сильные флуктуации скачков.

Фильтрация пористыми средами. В физике, модели, использующие дифференциальные уравнения с дробными частными производными по пространству и/или времени, называемые моделями фрактальных мобильно-немобильных сред (mobile immobile media, MIM), используются для описания замедленной диффузии. В MIM модели времена неподвижности частиц распределены по одностороннему устойчивому закону Леви. Гидродинамический предел такого распределения соответствует дробной производной по времени. В уравнении переноса появляется сумма первой производной по времени (обычный перенос) и дробной (учёт прилипших частиц).

Фрактальная модель мобильно-немобильных сред (М/М) с дробными производными описывает нефиковские эффекты, в частности, возникающие в фильтрационном процессе, вызванные прилипанием частиц к скелету пористой среды. Прилипание выхватывает частицу из потока на некоторое время, что влияет как на скорость течения, так и на флуктуации. Концентрационный профиль характеризуется «тяжёлым хвостом»: со временем концентрация спадает по степенному закону. Модель с дробными производными представляет собой фрактальный вариант MJM-модели, учитывающий наличие двух состоянийдиффузанта: мобильного (частицы движутся в потоке, совершают прыжки) и немобильного (частицы прилипли к скелету), а также межфазовый обмен частицами, подчиняющийся кинетике первого порядка.

Фрактальная М/М-модель предполагает, что часть диффузанта в конкретный момент не взаимодействуют со скелетом и диффундирует, подчиняясь закону Фика (слагаемое dC/dt). Другая часть взаимодействуют со скелетом, «прилипая» к нему, и остаётся неподвижной до момента отрыва. Отрыв происходит случайным образом. Времена неподвижности частиц распределяются согласно одностороннему устойчивому закону Леви. Поскольку каждая частица в потоке какое-то время не взаимодействует со скелетом, а затем адсорбируется им, то используются оба слагаемых. Правая часть уравнения содержит стандартные слагаемые (диффузионное и адвективное), а левая — слагаемые, описывающие взаимодействие со скелетом. Уравнение переноса MIM:

где п — среднее отношение взаимодействующих и не взаимодействующих со скелетом частиц v — скорость флюида, D— коэффициент диффузии.

Использование модели фрактальной диффузии с дробной первой производной по времени приводит к «колоколу» со степенным законом нарастания и затухания. В реальном эксперименте эта зависимость имеет вид несимметричного колокола с нарастанием по экспоненциальному закону и спаданием по степенному закону.

Рис. 26. Характерное изменение концентрации частиц со временем для различных законов диффузии: 1 — фиковская диффузия, 2 — диффузия по фракталам, з — фрактальная диффузия для мобильно-немобильной среды.

Случайная адвекция в поле скоростей с дальнодействующими корреляциями — простейший механизм, приводящий к супердиффузионному режиму переноса. Доминирующий механизм переноса примеси в скальных породах — адвекция за счёт фильтрации влаги по трещинам. Поскольку геометрия трещин является фрактальной, то возникают дальнодействующие корреляции. Основу модели составляет уравнение для концентрации диффузанта СГ,t):

где V = v® — скорость адвекции; г — расстояние. Величина v (/') является случайной функцией координат, причём среднее значение по ансамблю реализаций =0 — адвекция с нулевой средней скоростью.

Поскольку явление диффузии возникает при переносе в геологических средах радионуклидов, то в связи с проблемой надежности радиоактивных захоронений актуален вопрос о форме хвостов функции распределения частиц, диффундирующих аномально. Это связано с тем, что разница степенного и гаутсова хвостов в удаленной от источника области, может достигать многих порядков величины. Модель стохастической адвекции трактует перенос радионуклидов как адвекцию на случайном поле скоростей с дальнодействующими корреляциями скорости. Это пример того, как во фрактальной сильно неупорядоченной среде может реализоваться режим супердиффузии на умеренных расстояниях с одновременным отсутствием тяжёлых степенных хвостов в распределении концентрации на больших расстояниях.

Обратные задачи субдиффузии в геохимии. Одна из основных задач геохимии — определение источников поля (глубина залегания, мощность, форма скоплений и т. п.) по его интенсивности, измеренной на дневной поверхности. Положение источников определяется носителем. В случае самоподобной среды фрактальным является множество, определяющее носитель. При этом на поверхности регистрируется след этого фрактального множества в определенном диапазоне масштабов.

При интерпретации данных геофизической и геохимической разведки решается задача восстановления носителя поля по фрактальному распределению геохимических аномалий которая формулируется, как задача фрактального анализа «хаотически» распределенных аномальных зон. Обратная задача сводится к восстановлению фрактального множества по его проекции. При этом устанавливается связь между порядком дробных производных в уравнении аномальной диффузии и фрактальными параметрами среды. Обратная задача на фрактальных средах основана на идее, что изменение концентрации флюида может быть описано уравнением субдиффузии. При этом геометрическая структура участков канала, на которых происходят потери, наследует структуру реальной геологической среды и, соответственно, обладает фрактальностыо. На дневной поверхности регистрируются выходы каналов, объединенных в самоподобную систему, фрактальные характеристики которой тесно связаны, как со структурой путей миграции, так и с положением образующего аномалию объекта, например, нефтегазовой залежи.

В обратной задаче требуется по наблюденному на верхнем уровне полю восстановить нижний объект — источник диффузии. Если на поверхности изучается динамика процесса диффузии, то удаётся решить обратную задачу на базе уравнения субдиффузии. Однако в геохимии такой возможности нет. Поэтому задачу решают путём восстановления источника по фрактальным характеристикам поля на поверхности.

Мультифрактальность такого объекта, как множество наблюдаемых геохимических аномалий, позволяет строить распределение аномалий с различной фрактальной размерностью. Выделение таких объектов из внешне хаотической совокупности облегчает интерпретацию. В простейшем случае, в предположении преобладания в процессе миграции вертикального направления можно построить гипотетические 3D модели распределения изучаемого элемента с глубиной.

Перенос радона в режиме супердиффузии во фрактальной среде. Согласно классической модели диффузии Rn, объёмная активность радона, измеренная на дневной поверхности, может указывать на наличие тел с повышенным содержанием материнского элемента ²²⁶Ra на глубинах лишь в несколько десятков метров. Низкая миграционная способность ²²²Rn обусловлена сравнительно коротким периодом полураспада (3.82 суток) и высоким атомным весом (222). Однако известно, что с помощью эманационной съёмки локализуются радий-содержащие тела, находящиеся на глубинах до 500 м. Это возможно потому, что во влагонасыщенных трещиноватых породах по трещинам, заполненным флюидом, поднимаются микропузырки глубинного газа, что значительно увеличивает скорость его миграции к дневной поверхности. В рыхлых отложениях возможна интенсивная миграция радона за счёт «аномальной» диффузии.

Перенос радона в однородной пористой среде без фрактальных свойств описывается уравнением обычной диффузии и адвекции:

где D — коэффициент диффузии радона в грунте, м/с²; Q — объёмный источник радона, пропорциональный концентрации радона, образующегося в единицу времени в единице объема пористой среды на заданной глубине, Бк/мзс; v — скорость адвекции в порах, м/с; С (х) — поровая активность радона в единицу объема порового пространства, Бк/мз; е — пористость среды, 0<�Г7<1; Л — постоянная распада радона, с*¹.

Если среда, в которой происходит перенос радона, обладает фрактальными свойствами, то тогда i-ый закон Фика принимает вид:

где показатель дробности производной а, зависящий от хаусдорфовой размерности фрактала может меняться в пределах о<�а<2. Интервал 1<�а<2 соответствует аномальной диффузии, а=2 — обычному переносу, а о<�а<1 — аномальной адвекции.

Уравнение диффузии радона во фрактальной среде:

При о<�а<1 в обобщенном законе Фика поток Rn выражается через его концентрацию с помощью оператора дробного интегрирования, а не дифференцирования, степень которого связана с фрактальной размерностью среды. Одновременноучитываетсяещё один фактор, влияющий на изменение концентрации Rn. Случай о<�а<1 описывает не только процесс переноса, но ещё и дополнительное выделение радона в поровое пространство из поровых фрактальных структур. В случае аномальной адвекции (о<�а<1) радон ещё интенсивнее, чем при супердиффузии, выносится из фрактальной среды и концентрируется вблизи границы с атмосферой. Заметим, что аномальная адвекция может объяснить выбросы радона в периоды сильных деформационных возмущений, возникающих накануне землетрясений.

*__*__*.

Введение

в описание миграционных процессов трёх механизмов диффузии: классической диффузии, супердиффузии и субдиффузии значительно расширило возможности диффузионной теории: появилась возможность количественной интерпретации многих процессов. К процессам супердиффузии (диффузии с большими скоростями) относится перенос техногенных (захоронение отходов) и естественных (радон) радионуклидов, миграция природного газа по трещинам в горных породах и другие фрактальные процессы. Обычно такие процессы описываются дробными производными по координате. К процессам субдиффузии (диффузия с пониженными скоростями) относится перколяция, диффузия в дефектных средах с временным удержанием, диффузия в пористых средах с прилипанием и др. Это — диффузия с памятью. Она обычно описывается уравнениями с дробными степенями по времени. В общем случае уравнение диффузии включает производные как по времени, так и по координате с целыми и дробными степенями. Важно, что дробные степени производных часто связаны с показателями фракталов среды. К сожалению, современная математика плохо приспособлена к решению уравнений с дробными производными. Аномальную среду приходится описывать статистическими методами (распределение Леви), позволяющими иметь дело с распределениями с бесконечной дисперсией и неопределёнными моментами.