Феноменологическое описание аномальной диффузии

Детальное изучение процессов случайного блуждания обнаружило многочисленные отклонения экспериментальных распределений от нормального. Для адекватного описания реальных процессов пришлось обратиться к широкому классу устойчивых распределений (включающих как частный случай распределение Гаусса), в том числе — к распределению Леви. Работа с устойчивыми распределениями немедленно потребовала модернизации диффузионных уравнений (Фоккера-Планка и Фика), которая состояла в замене первой производнойпо времени на производную р, а вторую производную по координате на, а (а и р могут быть, как дробными, так и целыми; они связаны с показателем v в дисперсии случайного блуждания, параметрами распределения Леви и показателем фрактала). Такой подход позволил учесть нелокальность в пространстве и эффекты памяти при временной эволюции системы.

Комбинированное уравнение, учитывающее, как классическую, так и аномальную диффузию, записывается в виде.

Здесь размерность каждого слагаемого Ь-зТ^, а параметр D_u, имеющий размерность L_aT-^p, является коэффициентом диффузии только при а=2, р=1.

Решение приведённого выше уравнения ищется в виде.

/yW y.~d~a

где при г-" оо, & * /, d — размерность пространства.

При одномерной диффузии.

В случае одномерной диффузии.

где а совпадает с индексом стабильности а в распределении Леви, и p=avпорядки производных (как целые, так и дробные).

Рис. 13. Фундаментальное решение задачи уравнения диффузии с дробными производными по времени и пространству: а — а=о, 5, (3=0,5, 0=0; б —а=о, 5, (3=0,5, 0=-О, 5; в —а=1,5, (3=1,5, 0=0; г —а=1,5, |3=1,5, 0=-О, 49;Да=о, 25, (3=0,5, 0=0; е -«=0,25, Р=0,5, 0=-О, 25.

Размерность каждого слагаемого в этом уравнении L 'T^, а параметр D_u, имеющий размерность L-«T'^P, является коэффициентом диффузии только при а=2, (3=1.

Это уравнение способно воспроизвести основные аспекты аномального переноса, включая негауссовый автомодельный характер pdf перемещения частиц и аномальное масштабирование. В большинстве случаев оно не может быть решено точно; его решают численно или анализируют различного типа асимптотики. Уравнениерешают при различных начальных и граничных условиях. Эти решения определяются реальными параметрами а, 0, (3, которые всегда ограничены как о<�а<2, |0|<�шт{а, 2-а}, 0<(3<2.

v=p/a, поэтому в случаеа=2 npnv=o, 5, p=i имеемпараболическое (диффузионное), а при v=i, р=2 — гиперболическое (волновое) уравнение.

Здесь производная по координате — пространственная производная Рисса-Феллера порядка Е (о, 2] и асимметрией (skewness) 0; а дробная производная по времени порядка Ре (о, 2] (в смысле Капуто или РиманаЛиувилля). Эти дробные производные есть интегро-диффиренциальные операторы.

Решения обсуждаемого уравнения трудоемки и требуют большого объёма выкладок. Небольшой объём учебника не позволяет привести их здесь. Всё же укажем, что решение задачи Коши может быть представлено в виде.

где v=p/a, _а, р— редуцированная функция Грина, выражаемая через.

pdfl1еви.

Частные случаи уравнения диффузии с дробными пространственно-временными производными:

а=2, р=1 — классическая диффузия, дисперсия конечна;

0<�а<2, р=1 -пространственно-дробная диффузия;

a=2, о<�р<2, p^i —время-дробная диффузия;

0<�а=р<2 — нейтрально-дробная диффузия;

Дисперсия при а*2 бесконечна при любых р.

Замечание. Решение нейтрального дробного уравнения можно интерпретировать как затухающую волну с постоянной скоростью распространения, т. е. наследуются некоторые черты волнового уравнения (например, постоянная фазовая скорость затухающих волн). С другой стороны, первое фундаментальное решение одномерного нейтрального дробного уравнения —свободно развивающийся во времени и пространстве процесс, т. е. диффузия (особенно заметная по скорости производства энтропии). Имеет место дуализм между волновым и диффузионным распространением фронтов.

Полученные решения демонстрируют, что ширина диффузионного пакета растет пропорционально f^v=^/^a, При (32а— супердиффузионный, при р=2а— нормальный режим и при р=а, а<2 — квазинормальный режим.

Рассмотрим теперь некоторые особенности решения диффузионных уравнений с дробными производными.

Задача Коши в классической формулировке (a=2, p=i) требует решение уравнения диффузии.

при краевых условиях.

и (х_уО)=д (х), -эо+ос, ц (+ос, Г)=0, t>о.

Будем считать, что диффузия протекает в бесконечной среде, в которой распределение концентрации диффузанта в начальный момент времени было д (х). Если диффузант в начальный момент времени был сосредоточен в бесконечно тонком слое с координатой х_у то начальное условие приобретает вид дельта-функции:

В этом случае фундаментальное решение (функция Грина) задачи Коши имеет вид.

Рис. 14. Нормальное распределение (Гаусс, а=2, p=i, 0=о): a — линейная шкала, б —логарифмическая шкала (наглядное представление поведения хвостов).

Здесь индекс d указывает на классическую диффузию, х/р/² — переменная подобия.

В теории вероятности функция Грина интерпретируется как.

где Pg (x;g) — Гаусса (нормальное) распределение (рс (/), а²— второй центральный момент (дисперсия).

Все статистические моменты от нормального распределения конечны (дисперсия функции Грина пропорциональна t), их можно найти по формуле.

Крылья pdf Гаусса экспоненциально убывают на бесконечности.

Решение задачи Коши в обобщённом виде.

Решаем обобщённое диффузионное уравнение:

с краевыми условиями и (х, о)=д (х), -oo+oo, u (±oo, f)=o, t>о.

При а*2 это уравнение описывает движение Леви, его решение — функция u a_fp (jc, f)> удовлетворяющая заданным краевым условиям. Фундаментальное решение задачи Коши (функция Грина) есть обобщённая функция G°_a, j$> которая будучи формальным решением обсуждаемого уравнения для случая (р (лг)=5(дг) (дельта-функция Дирака), представляет решение в интегральном виде:

где т=1, 2,… и o.

Необходимо различить случаи о<�а<1 и 1<�а<2. В последнем случае имеет место интерполяция между стандартным диффузионным уравнением и стандартным волновым уравнением.

Пространственно дробная производная порядка (Зе (о;2) задаётся как псевдодифференциальный оператор с символом Фурье |к|^а.

Замечание. Поскольку' дробная производная — это производная от специальным образом усредненной функции их (х, т), причём усреднение по времени идёт на интервале от о до t, но в точке х, то частица диффузанта заперта в этой точке на этом промежутке времени. Поскольку' в точке х имеет место остановка, то процесс миграции замедляется. Дробная производная по времени возникает при учёте нелокальности по времени (например, при миграции в ветвящихся фрактальных структурах, в пористых телах — из-за прилипания диффундирующих частиц к стенкам пор, адсорбции).

Получаемое фундаментальное решение задачи Коши остаётся двусторонне симметричной pdf по л: (с двумя ветвями для х>0 и х<�о, зеркальное отражение), но если v*0,5, то распределение отлично от нормального. При больших х каждая ветвь демонстрирует степенное падение переменной M"/6-^v>

Функцию Грина при |л:|—>оо можно представить в форме.

aft) и bft) некоторые положительные функции от времени.

Экспоненциальный спад по х свидетельствует что все статистические моменты целого порядка от G (x, f;v) конечны. В частности, моменты чётного порядка.

Это уравнение представляет обобщение стандартной задачи с v=o, 5. Здесь дисперсия pdf, пропорциональная Dt^aV, случаи v*i/2 относятся к.

диффузиия ©.

аномальной диффузии. Аномальная диффузия протекает медленно (суб;

диффузия), если о.

На рис 15 в качестве примера приведены зависимости их_у при фиксированном t фундаментальное решение задачи Коши с различными v (v=i/4, ½, ¾). Рассмотрен диапазон 0<|д:|<4, предполагали D=t= 1.

Рис. 15. Ф>^гндаментальное решение задачи Коши для диффузионного уравнения с дробной производной по времени. Зависимость от х при v=i/4 субдиффузия (а), ½-Гаусс (Ь), ¾ супер;

Функцию Грина G°₂, pnpH о<�р<2 можно интерпретировать как такую эволюцию во времени пространственной pdf при который крылья распределения спадают по экспоненциальному закону.

В отличие от распределения Гаусса здесь дисперсия 2 21>

<�т~ = {J₂= —-j пропорциональна времени в степени р, свидетельствуя о супердиффузии при 0<�р<1 и о супер диффузии при 1<�р<2.

При субдиффузии (o.

pdf достигает своего максимального значения при д:=о (где происходит разрыв первой производной) и имеет экспоненциальные хвосты, более толстые, чему распределения Гаусса; в случае супердиффузии (кр<2) pdf имеет два симметричных максимума которые при увеличении времени перемещаются вдаль от начала координат и имеют хвосты более тонкие, чем у распределения Гаусса.

Выражение

демонстрирует, что две симметричных ветви функции Грина уравнения диффузии с дробной производной по времени порядка 1<�р<2 пропорциональны соответствующим (несимметричным) ветвям функции Грина для уравнения диффузии с производной по пространству порядка 1<�а=2/р<2 с асимметрией 0=+(2-р/2), а именно экспоненциальным хвостам двух экстремально стабильных распределений индекса 2/р.

В предельных случаях имеем.

Таким образом, при v=o хвост распределения падает по экспоненте, а при v=i, а =2 имеет место распространяющаяся дельта-функция.

Задача Коши для симметричного пространственно дробного диффузионного уравнениясводится к решению уравнения.

где D_u— положительный коэффициент с размерностью L^a74.

Для функции и (х) дробная производная Римана по координате определяется как.

где тп — целое число, такое, что ш-1<�х<�ш.

Функция Грина пространственно дробной диффузии представляет собой экстремально устойчивое pdf Леви, изменяющееся во времени по закону.

Рис. 16. Фундаментальное решение задачи Коши для диффузионного уравнения с дробной производной по координате: a) a=i/2 (сплошная линия), a=i (пунктир); б) а=з/4 (сплошная), а=2 (пунктир).

Рис. 17. Функция Грина для уравнения с дробной производной по пространству (p=i): а —а=о, 5, 0=о; б — а=о, 5, 0=-о, 5; в —а=1, 0=о; г —а=1, 0=-о, 99; д — а=1,5,0=о; е —а=1,5,0=-О, 5.

Симметричную пространственно дробную производную порядка а>0 от функции ф (лг) можнопредставить как псевдодифференциальный оператор в преобразовании Фурье. Преобразование Фурье функции Грина соответствует канонической форме симметричного стабильного распределения с индексом стабильности, а и фактором масштабирования y=(Dt)^^a.

Для ct=i р=1 и а=2 (3=2 существуют явные выражения соответствующих гриновских функций (соответствуют распределениям Коши и Гаусса).

Упрощая функцию Миттаг-Лефлера, превращая её в экспоненциальную, мы получаем характеристическую функцию в классе Леви строго устойчивого распределения согласно параметризации Феллера.

В предельном случаеа=о, 0=±1диффузионное уравнение превращается в кинематическое (первого порядка) волновое уравнение с функцией TpnndG^¹i, i=6(x±t), означающей чистый снос. Для о<�а<2 устойчивое pdf проявляет толстые хвосты, а их абсолютный к-тый момент конечен только при -1<�к<�а. Хвосты негауссовой устойчивой pdf асимптотически убывают по закону Леви вида.

Для экстремальных плотностей с а*1 это действительно только для одного хвоста, спад другого — экспоненциальный. При о"х<1 имеем одностороннее pdf и для 0=-а и для 0=+а экспоненциально стремящиеся к нулю как дг-«о Для 1<�а<2 имеем экстремальную двустороннюю pdfc экспоненциальным левым хвостом (при х->-оо) в случае 0=+(2-а), или с экспоненциальным правым хвостом (при х-«-ос) в случае 0=-(2-а). При о"х<1 первый момент бесконечен, так что приходится использовать медиану.

Сигнальная задача Коши в классическая формулировке требует решения уравнения Фика с нулевыми начальными условиями при наличии импульсного источника на границе полубесконечной среды. Будем искать решение уравнения.

при краевых условиях:

и (х;о)=0, х>0, u (o, 0⁼A (0=S (0> u (+oo, f)=0, t>о Фундаментальное решение (функция Грина) имеет вид.

где pi (f;p) означает одностороннее Леви движение pdf для всех неотрицательных времён.

Интегральное распределение

Все целые моменты pdf Леви бесконечны, т.к. распад бесконечен как *~з/², но абсолютные моменты к конечны при oFiitmedip)=i/2 следует, что f_med*2р, т.к. дополнительная функция ошибок при значении 0,5 имеет аргумент -0,5.

Рис. 18. Функция Грина для уравнения с дробной производной по времени (.

Таким образом, фундаментальное решение сигнальной задачи с классическим уравнением диффузии, определяет эволюциюво времени одностороннего pdf Леви. Задача о распространении начального импульсадаже при классическом блуждании даёт функции плотности вероятности, связанные с определенными устойчивыми распределениями. Из-за затухания на бесконечности по законуГ-з/2 _все моменты целого порядка оказываются расходящиеся (например, здесь математическое ожидание и дисперсия бесконечны).

Сигнальная задача для дробного по времени диффузион-

d^p(x, t) ди)

ного уравнениясводится к решению уравнения -^— = и-— при.

дг дх

граничных условиях ц (д:;о)=о, Jt>o, i/(o, f)=/i (0=S (0> n (+co, f)=o, t>о.

При решении задачи используется то обстоятельство, что при л:>о, t>о гриновские функции для задачи 1 и задачи 2 удовлетворяют идентичности xG_s(x, t), что соответствует отношению взаимности между двумя фундаментальными решениями диффузионного уравнения.

диффузии для задач 1 и 2.

На рис. 19 представлены зависимости от t при фиксированном х фундаментального решения сигнальной проблемы для различных v (v=¼, ½, ¾). Рассмотрен интервал 0D=x=i).

Рис. 19. Фундаментальное решение сигнальной задачи для диффузионного уравнения с дробной производной по времени:1 -v=i/4,2 -v=i/2,3 -v=¾.

Отметим различное поведение pdf в случаях медленной диффузии (v = ¼) и быстрой диффузии (v=¾) по сравнению с pdf Леви для стандартной диффузии (v=i/2). В предельном случае v=o, 1 имеем.

Сигнал, возникший на поверхности пластины, распространяется в ней в виде дельта-функции.

Нейтрально дробная диффузия 0<�а=ро.

интерпретируется как плотность вероятности — дробное обобщение с асимметрией плотностиКоши. В предельном случае а-«2 (с 0=о) pdf стремится к [б (д:-1)+б (л-+1)]/2.