Диффузия с адвекцией

Наиболее простое приближение турбулентная диффузия, при котором учитывается снос диффундирующей примеси ламинарным потоком флюида. В первом приближении можно считать, что турбулентный перенос вещества в рассматриваемый момент времени в произвольной точке пространства определяется градиентом осредненной концентрации, взятым в той же точке пространства и в тот же момент времени.

Дифференциальное уравнение фиковской турбулентной диффузии, описывающее эволюцию концентрационного поля пассивной (т.е. не вступающей ни в какие реакции и устойчивой) примеси во времени и пространстве, при диффузии с адвекцией:

где С — средняя концентрация примесищ, w, v — скорости переноса вещества в направлениях х, у, z; D_x, D_y, D_z — коэффициенты молекулярной диффузии по соответствующим направлениям (в данном приближении считаются независимыми от времени).

При описании диффузии в неподвижной среде (u=w=v=о, отсутствие адвекции) имеем уравнение классической диффузии (Фика):

Если точечный источник, генерирующий примесь, s[r/c], расположен в точке с координатами д:=о, у=о, z=H, то граничные условия с учётом подстилающей поверхности (отражающей или поглощающей примесь) имеет вид иС = sS (y)S (zН х = 0; С->о при z—>сси при |у|—>оо;

AdC/dz=o при z=o, где б (у), б (z-H) — дельта-функция, [м¹].

Граничные условия вытекают из очевидного факта убывания концентрации с удалением от источника с учётом непроницаемости подстилающей поверхности. Подстилающая поверхность может поглощать газовые примеси, растворяя их; оседание дисперсных частиц на поверхности рассматривают как их поглощение. В этих случаях условие непроницаемости должно быть заменено на условие частичной или полной проницаемости. Для решения Ур.2 при таких граничных условиях необходимо иметь информацию о распределении по высоте атмосферы скорости ветра и значении коэффициентов турбулентной диффузии D_z, D_v.

Если рассматривать инертные виды (т.е. не вступающие в реакции), то при отсутствии источников, и при условии, что молекулярной диффузией можно пренебречь, в уравнении останутся только члены, учитывающие адвекцию (первая производная по координате). Решение такого уравнения тривиально. Однако только до тех пор, пока не требуется учесть случайную Подстановка x=Ut переводит его в одномерное уравнение.

Средняя концентрация C=J{y, t, s/u, D), где s/u — количество массы примеси «подхваченное» из источника проходящим потоком.

Его решение.

составляющую скорости и среднюю скорость (т.е. щ=й+и/) — основные параметры турбулентной диффузии. А поскольку концентрации примеси тоже флуктуируют, то задача становится неразрешимой.

В качестве примера рассмотрим две задачи диффузии с адвекцией и постоянно действующим источником примеси: линейным или точечным.

Рис. 2. Диффузия с адвекцией при наличии постоянного источника частиц; а — линейный источник, б — точечный источник.

Пусть примесь из постоянно действующего линейного источники поступает в стационарный однородный поток флюида, движущегося со скоростью U = (г/, О, О). Рассчитаем изменение распределения концентрации примеси в плоскости х—у. Скорость генерации частиц на единицу длины источника по оси zs[kt/m/c]. Поскольку из-за более крутых градиентов концентрации в направлении оси у транспорт вдоль оси у осуществляется намного быстрее, чем по оси х, то уравнение диффузии принимает вид:

Концентрационный профиль представлен на рис 2а. Примесь сносится потоком, его фронт расширяется по координате х, а концентрация по оси у уменьшается по закону дг¹/².

Рассмотрим теперь аналогичную задачу, но для точечного источника. s — скорость генерации частиц [кг/с], поступающих в равномерный поток флюида, движущегося со скоростью и = (w, 0,0) в направлении оси х.

Решение аналогично предыдущему примеру за исключением того, что примесь распространяется по осям z и у.

Концентрационный профиль примеси.

Распределение концентрации представлено на рис. 26. Концентрация на оси л: уменьшается быстрее, чем в случае линейного источника, т.к. диффузионный фронт распространяется как в z, так и ^-направлениях; концентрация убывает пропорционально дг¹. В каждом из этих примеров, предполагалось, что диффузия вдоль потока пренебрежимо мала по сравнению с диффузией в поперечном потоке. Близко к источнику это не так, поэтому рассмотренные решения справедливы только длял'>>2D/u.

Учтём теперь уничтожение примеси за счёт необратимой химической реакции или радиоактивного распада. Если источник частиц импульсный и точечный с мощностью s работает в потоке флюида, движущегося с постоянной скоростью и, и примесь активна, то уравнение диффузии имеет вид.

где к — константа скорости необратимой реакции i-го порядка, С— средняя концентрация.

Или в представлении дисперсий а.

Если источник является импульсным и плоским, то в при одномерной диффузии уравнение имеет вид.

При описании турбулентной диффузии в атмосфере Земли, основным подходом является гауссово приближение диффузионной модели. В нём предполагается, что присохранении характера термодинамической устойчивости атмосферы, постоянстве направления и скорости ветра рассеяние пассивной примеси в горизонтальном и вертикальном направлении происходит независимо друг от друга, а учёт физических факторов, влияющих на перенос, рассеяние и осаждение примеси, проводится введением ряда поправок. К сожалению, для расчёта приземных концентрации при слабых ветрах или штиле применение гауссовых моделей невозможно, что снижает их применение в прикладных целях. При моделировании процессов распространения примесей в трёхмерной области решается полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии в декартовых координатах. В этом случае линеаризованная модель распространения примеси учитывает основные особенности процесса, а именно: перенос примеси в направлении потока, молекулярную и турбулентную диффузию, конвекцию, пространственно-временную неоднородность параметров рассеяния, взаимодействие примеси с подстилающей поверхностью и верхней границей слоя перемешивания, сухое и влажное осаждение на подстилающую поверхность, трансформацию примеси и другие факторы.

В основе рассматриваемого здесь подходе лежит гипотеза о том, что распределение частиц в струе или облаке близко к нормальному.

Основным недостатком гауссовой модели является то, что она рассматривает начальное состояние атмосферы как невозмущенное, что в реальных условиях никогда не наблюдается. Модель позволяет спрогнозировать пространственно-временную картину загрязнения атмосферы, не учитывая (не привязываясь) конкретно к рельефу местности и метеорологическим условиям территории. Гауссов подход не учитывает зависимость диффузионных коэффициентов от высоты источника, поэтому позволяет описывать приземное поле концентраций примеси от источника только на фиксированной высоте и только в горизонтальном направлении.

Гауссовское уравнение следует из общего уравнения атмосферной диффузии при выполнении следующих условий: решение не зависит от времени (источник имеет постоянные параметры выброса); скорость ветра постоянна и одинакова во всем слое диффузии; коэффициенты диффузии не зависят от координат; диффузия в направлении д: мала по сравнению со средней скоростью переноса вещества в этом направлении, т. е.

В этом случае уравнение диффузии существенно упрощается.

Здесь D_xи Dy— коэффициенты турбулентной диффузии. Общее решение этого уравнения имеет вид:

где Со — произвольная постоянная, определяемая из граничных условий конкретной задачи.

Окончательное выражение имеет вид:

где <�ту², Ох²—дисперсии, характеризующие нормальное распределение по оси у и оси z:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Математическая модель называется гауссовой, так как с точностью до постоянного множителя она состоит из двух гауссовых функций вида:

Плотность нормального распределения имеет вид колокола и меняется отсо до +оо с максимумом при у=о.

В качестве примера рассмотрим трёхмерную турбулентную диффузию примеси, выделяющуюся из точечного источника.

Пусть С (Р, 0 — функция, значение которой в момент времени t_Q в точке Р (х, у, z) совпадает со значениями мгновенной концентрации примеси, переносимой в атмосфере потоками воздуха. Предполагается, что функция С (Р, О непрерывно дифференцируема по х, у, z, t. Источник, находящийся в точке Р₀(лго, Уо, z₀), производит мгновенный выброс примесей в момент времени t₀ в количестве s.

Расчёт средних концентраций примеси в пограничном слое атмосферы от мгновенного точечного источника, при используемых здесь условиях, даёт концентрационный профиль:

называемый гауссовой функцией распределения концентрации примеси.

Стационарное состояние турбулентной диффузии при действии постоянного точечного источника загрязнения и скорости флюида ис учётом однородных граничных условий.

— коэффициент турбулентной диффузии, [м²/с]; s8 — действие постоянного точечного источника загрязнения, 8-дельта-функция Дирака; s— мощность точечного источника загрязнения, [г/с]; —расстояние от источника, [м].

Решение уравнения

В этом случае зависимость концентрации примеси от расстояния до источника носит гиперболический характер, в то время как при импульсном источнике эта зависимость —экспоненциальный закон убывания.