Методы решения задач исследования ХТС с использованием обобщенных градиентов функций степеней принадлежности

Несмотря на важные достоинства функций степеней принадлежности, но сравнению с обычными штрафными функциями, у первых имеется серьезный недостаток, заключающийся в том, что эти функции являются негладкими, недифференцнруемыми всюду в пространстве Е_п, что затрудняет применение эффективных схем, опирающихся на использование градиентов для поиска экстремумов во вспомогательных задачах.

С другой стороны, штрафные функции, построенные в виде функций принадлежности, при некоторых способах использования элементарных функций принадлежности могут быть выпуклыми функциями. Применение методов построения и использования обобщенных градиентных выпуклых фупкций [5—8] с учетом особенностей функций принадлежности позволяет разработать быстросходящиеся алгоритмы решения многих задач исследования ХТС (в виде совместных систем линейных, нелинейных уравнений, задач линейного, нелинейного выпуклого программирования).

Рассмотрим исходную задачу исследования ХТС А (7.1). Вместо задачи А решается эквивалентная задача А1 (7.9), (7.10) на основе вспомогательных задач В (t) (7.10), (7.11). Целевые функции F (t, х) вспомогательных задач по аналогии с функцией штрафов определяются на основе функций принадлежности нечетких множести допустимых или недопустимых значений переменных исследуемых ХТС. Пусть эти функции непрерывны на Е_п.

Установим сначала свойства вспомогательных функций (целевых функций вспомогательных задач В (*)) и их компонентов. Пусть для каждого из ограничений g (ас) ^ 0 исходпой задачи исследования ХТС функция принадлежности нечеткого множества допустимых значений параметров цс. (ас) вогнута для Ух Е= Е_п1 тогда функция принадлежности нечеткого допустимого множества исходной задачи Л в целом ро (ас) вогнутая, функция принадлежности нечеткого множества недопустимых значений параметров р_ф (ас) выпуклая.

В. Теперь, если рф (ас) = 1 — ро (ас) и рц (ас) выпуклая, из доказательства Л следует, что / (ас) = 1 также выпуклая; из Б можем доказать, что рф (ас) выпуклая.

Если рф (ас) = max II — рс. (ас)], то, доказав аналогично Б, ier *

что [1 — рc_t (ас)] выпуклая, пользуясь доказательством Л, можем показать, что рф (ас) выпуклая.

Из доказанного утверждения вытекают следующие свойства: функция принадлежности нечеткого множества допустимых параметров рс. (ас) вогнута для Ух е= Е_п.

Пусть для каждого из ограничений g_t (ас) ^ 0, если известна нижняя оценка определенной и конечной на Е_п целевой функции исходной задачи" Л ср (ас) — величина <�р*, а фупкция припадлежпости нечеткой области оптимальных (или неоптимальных) значений функции <�р — функция [% (х) (или |Л-|_Ф (х)) вогнута (или выпукла), вспомогательные функции F (/, ж) эквивалентных задач А, определенные в (7.9), (7.10), выпуклые для V/ > 0. Если же неизвестна нижняя оценка функции ф (г), но ф (ж) ограничена, определена и выпукла на Е_ПУ тогда вспомогательные функции F (/, х) эквивалентных задач Л1, определенные в (7.9), (7.11), выпуклы для Wt > 0. Приведем определение субградиентов (обобщенных градиентов) для произвольной функции Т* (аг) [5, 7, 8J.

Определение 1. Пусть функция ф (х) определена и конечна на Е_п. Каждой точке ar_n Е= Е" можем поставить в соответствие множество.

которое называется субдифференциалом функцииф (ж) в точке х₀.

Определение 2. Любой элемент субдифференциала является вектором v ЕЕ дф (ж) и называется субградиеитом (или обобщенным градиентом) функции ф (х) в точке х₀.

Определение 3. Если ф (ж) дифференцируемая (в обычном смысле), то ф' (ж_о)ЕЕ0ф (ж"), т. е. обычный градиент функции ф (ж) в точке ж₀ также является элементом субдифферепцнала? ф (жо) в точке х₀.

' Установим свойства множества субградиентов вспомогательных функций эквивалентной задачи исследования XTG А 1с учетом доказанных свойств функций принадлежности.

Пусть ро (ж) — вогнутая функция принадлежности нечеткого множества недопустимых значений параметров, |Дф (ж) — выпуклая функция. Тогда множество субградиентов dF (t, х₀) вспомогательных функций F (t, ж₀) эквивалентных задач исследования ХТС непусто, выпукло, замкнуто и ограничено для Уж₀ ЕЕ Е_п,

VI >0.

Доказательство. Построим множество Z — надграфпк функции F (t, х) для t > 0:

Согласно (7, 8], множество Z непустое, выпуклое, замкнутое и имеет внутренние точки. Точка {ж₀, F (?, ж₀)} — граничная точка множества Z. Из теоремы отделимости 14, 71 следует, что существует такой набор чисел с и вектор и, одновременно перавпых нулю. т. е.

что.

При.ж = ж₀ имеем.

Если с — 0, то из (7.45) имеем [(v, х — ж₀) >0, V# €= Е_п 1 => =Ф v = 0), что противоречит (7.44).

Имеем с > 0. Полагая (5 = F (t, ж), получим.

Отсюда v₀ = —c~^lv 8 °F (t, ж₀), следовательно, множество 0F (/, ж₀) 0.

Выпуклость и замкнутость множества 8F (?, ж₀) вытекают непосредственно пз определения и свойств выпуклости функции F (t_y х). Докажем ограниченность OF (t, хо). Допустим обратное: dF (t, х₀) не ограничена, тогда.

Положим ж* = х₀ + г*, где = б₀1| v_k Ц" ¹«*. Из определения 8F (/, Хо) имеем.

Это противоречит предположению об ограниченности функции F (t_} ж), которая вытекает из ограниченности ее составляющих. Отсюда следует, что множество субградиентов 8 °F (t, ж₀) ограничено для Vx₀ Ег Е_п.

Следующие утверждения позволяют определить множество субградиентов функций принадлежности нечетких множеств недопустимых значений параметров, а также вспомогательной функции эквивалентных задач исследования ХТС.

Пусть |1q (х) — вогнутая функция принадлежности нечеткого множества допустимых значений параметров, и (ж) — выпуклая, dpoj (ж) — множество субградиентов функции принадлежности нечеткого множества недопустимых значений параметров относительно i-ro ограничения исходной задачи исследования ХТС. Тогда множество субградиентов функций принадлежности нечеткого множества недопустимых параметров исследуемых ХТС в общем случае определяется по соотношению.

где conv (/?) — выпуклая оболочка множества R.

Доказательство. Ранее было установлено, что p.

t (ж) и рф (ж) — выпуклые функции. Согласно (7, 8], выпуклая функция является дифференцируемой в точке ж₀ по любому направлению д ЕЕ Е_п. Дифференциал функции р_ф (ж) по направлению д Е_п можно вычислить через субградиенты.

Кроме того, р.-&(зг) вогнутая, ср (ос) выпуклая на Е_ПУ а д [(рп<�р (x))^aJ, ду (х) и д I (|д_Ф (эс))^р] — множества субградиентов функций р-]_ф (#), (р (х), (цф (jc))& соответственно. Тогда множество субградиентоi* штрафных функций F (it, х) для tW > 0 равно соответственно.

или.

Доказательство. Пусть (р-]_ф (зс))^а, (цф (#))(* при а, р > ^>1 — выпуклые функции. Пользуясь свойством линейности дифференциалов по направлению для Уд (= Е_п

а также соотношением dj (x)jdg = max (g, v), получим.

Поскольку это соотношение справедливо для Уд ЕЕ Е_П1 причем множества dF (?, х), d I (p-₁

_{(эс))^а], д 1(рф (ж))Р) выпуклы, замкнуты и ограничены, то, пользуясь [в, 7J, получим (7.61), что и требовалось доказать.}

Аналогичным образом можно доказать соотношение (7.62) е учетом предположения о выпуклости целевой функции исходной задачи исследования ср (ж).

Важными для конкретизации методов определения субградиентов вспомогательных функций F (t, х) являются следующие утверждения.

Если элементарные функции принадлежности [Iq. (х) нечетких множеств допустимых значений параметров исследуемых ХТС в смысле ?-го локального ограничения исходпой задачи А вогнуты и непрерывно дифференцируемы на Е_п, тогда субградиент функции принадлежности нечетких множеств недопустимых параметров исходной задачи исследования ХТС в целом — функции х_ф (х) равен.

где pi. (х) — градиент функции принадлежности {х) в точке х ЕЕ Е_п множество Т (х) имеет вид.

Утверждение доказано.

Более сильным является следующее утверждение. Если элементарные функции принадлежности (х) дифференцируемы в точгде Т (х) определено в (7.66). Доказательство данного утверждения строится аналогично предыдущему.

Следующее утверждение позволяет построить и обосновать сходимость одного класса алгоритмов поиска минимумов в эквивавалентной задаче исследования ХТС. Пусть вспомогательная функция F (i, х) эквивалентной задачи исследования ХТС имеет непустое множество минимумов х* (i), Vi 0. Пусть известна (необязательно точно) нижняя оценка функции F (i, х) для t > 0, равная F (i). Пусть итерационный процесс поиска минимума функции F (I, х), t > 0. имеет вид.

где dF (i, х^к) — какой-либо субградиент функции F (t, х^к) в точке х^н.

Тогда а) последовательность {ас^к } сходится к множеству минимумов функции F (i, х):

ке х для Vi ЕЕ /, то субградиент функции принадлежности нечеткого множества недопустимых параметров эквивалентной задачи исследования А1: ц_ф (х) в точке х определен однозначной равен.

6) для произвольной функции F (i, х) оценка скорости сходимости следующая:

в (для сильновыпуклой функции F (i, #), а также для F (i, х), имеющей острый минимум, процесс (7.77) сходится со скоростью геометрической прогрессии.

Доказательство. Докажем утверждения на основе использования результатов, приведенных в [7]. Докажем утверждение а). Пусть х Е= х* (i), t > 0, тогда.

где q = 1 — а²/с² =*> {ас*} сходится к х* ^ х* (*) со скоростью геометрической прогрессии.

Замечания об основных результатах приведенных выше утверждений.

Замечание 1. Разработанная в работах 15—81 теория оптимизации недифференцируемых функций на основе исследования и вычислений субградиентов (обобщенных градиентов) в основном решает лишь случай выпуклых и квазивыпуклых функций.

Замечание 2. Доказанные утверждения позволяют определить множество субградиентов вспомогательных функций эквивалентной задачи с помощью составляющих ее субградиентов.

Б некоторых случаях, когда это возможно, используются обычные градиенты элементарных функций принадлежности.

Замечание 3. Существование, замкнутость, ограниченность и выпуклость множества субградиентов штрафпых функции в эквивалентной задаче, полученных из функций принадлежности определенного класса, позволяют построить многообразные вычислительные схемы спуска. При этом используются различные варианты субградиентов в виде линейных комбинаций некоторых заранее известных субградиентов, включая обычные градиенты функций принадлежности и штрафных функций.

Замечание 4. Обратим внимание на выбор нижних оценок функции F (i (, ас), Vt > 0. Для всех задач исследования ХТС, сводящихся к системам линейных, нелинейных алгебраических^{трансцендентных} уравнений и неравенств, нетрудно доказать, что F (t) = = 0, V/ > 0. Для общей задачи исследования ХТС в виде задач математического программирования с известной оценкой минимума целевой функции F (t) = 0, Vt > 0. Для других случаев оценки F (t) задаются априорно и уточняются в процессе решения эквивалентной задачи.