Задачи. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

1. Используя изоморфизм lg мультипликативной группы действительных чисел R+ на аддитивную группу действительных чисел К, найдите прообразы чисел 2, 4, л, 2л.

• 2. Рассмотрите аддитивную группу двухмерных арифметических векторов V₂ над полем М и найдите в ней подгруппу, изоморфную аддитивной группе R.
• 3. В аддитивной группе квадратных матриц порядка 2 над полем R найдите несколько подгрупп, изоморфных аддитивным группам Q и R.
• 4. В аддитивной группе комплексных чисел установите изоморфизм подгрупп Ш и Шл. Укажите другие изоморфные подгруппы в €.
• 5. Перечислите по экземпляру все неизоморфные (циклические) группы, порядок которых не превосходит 6.
• 6. Докажите, что всякая группа подстановок S" изоморфна подгруппе группы подстановок S_n+1.
• 7. Докажите, что аддитивная группа n-мерного векторного пространства V_n над полем К изоморфна аддитивной группе арифметических п-мерных векторов R" = {(а₁₍ а₂,…, а") | а₂,…, а" е R}.
• 8. Докажите, что аддитивная группа комплексных чисел изоморфна аддитивной группе двумерных арифметических векторов с действительными компонентами.
• 9. Докажите, что группа всех параллельных переносов плоскости изоморфна аддитивной группе векторов плоскости, выходящих из одной точки.