Решение неоднородного уравнения диффузии с нулевым начальным условием и нулевыми краевыми условиями

Присутствие в правой части уравнения (6.10) члена /(г, i) означает наличие источника (или стока) вещества в данном месте через стенки трубки. Например, при описании процессов диффузии ионов вдоль мембраны возможен трансмембранный перенос ионов.

Для неоднородного уравнения диффузии

с нулевым начальным условием и нулевыми краевыми условиями.

решение C (r, t) также ищут в виде разложения в ряд Фурье по.

Здесь функции C_n(t) могут быть получены при подстановке предполагаемой формы решения в исходное уравнение (6.10), где функция /(г, t) также представляется в виде ряда Фурье:

Общее решение поставленной задачи имеет вид.

Как и в случае однородного уравнения, оно может быть представлено через функцию источника:

Легко видеть, что функция (6.30) совпадает с функцией (6.27). Различие состоит в том, что в случае формулы (6.27) изучалось однородное уравнение диффузии и поэтому рассматривался источник вещества, действующий лишь в момент времени t = 0, согласно начальному условию (6.11). Дальнейшее распределение вещества определялось в этом случае «пассивной» диффузией по градиенту концентраций. В случае неоднородного уравнения (6.10) функция /(г, t) задает' распределение источников вещества, действующих постоянно. Поэтому в выражении для C (r, t) через функцию источника необходимо суммировать действие мгновенных точечных источников во все моменты времени от t = 0 до рассматриваемого момента t (интеграл по т) и во всех точках одномерного реактора (интеграл по 5). Таким образом, исходя из физического смысла функции источника G (r, 5, t) можно было бы сразу написать выражение (6.30) для функции, дающей решение неоднородного уравнения.