Основные свойства колец

РефератПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Правила знаков). Для любых элементов, а и Ь кольца К имеют место равенства (-а)Ь = а (-Ь) = -(аЬ), (—а) (—b) = ab. Существуют ли кольца, в которых равенство а2-Ъ2 = (а + Ь) х х (а — Ь) не является тождеством? Множества многочленов Z, QM, Е, С относительно их сложения и умножения. А9 — множество всех многочленов кольца К с нулевым свободным членом. Свойство нуля). Для любого элемента, а кольца К… Читать ещё >

Основные свойства колец (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Прежде всего отметим, что для аддитивной группы кольца К справедливы все свойства аддитивных групп. Рассмотрим свойства колец, связанные с умножением.

1. (Свойство нуля). Для любого элемента, а кольца К, а ? 0 = = 0 • а = 0.

Доказательство, а? 0 = а ( 0 + 0)=а-0 + а- 0=>а-0 = а0 + + а • 0. Прибавив к обеим частям этого равенства по -(а • 0), получим 0 = а • 0. Подобным же образом доказывается, что 0? а = 0.

2. (Правила знаков). Для любых элементов, а и Ь кольца К имеют место равенства (-а)Ь = а (-Ь) = -(аЬ), (—а) (—b) = ab.

Доказательство. Имеем: ab + (-а)Ь = (а + (-а))Ь = 0 Ъ = 0 => => (-а)Ь = —(аЬ); аналогично доказывается, что а (-Ь) = —(аЬ). Используя доказанное, получаем (-а)(-Ь) = -(а (-Ь)) = = -(-(аЬ)) = ab.

Определение 2.4. Вычитанием в кольце К называется бинарная операция «-», которая задается формулой аЪ = а + + (-Ь) для любых а, ЬеК.

3. Умножение в кольце дистрибутивно относительно вычитания: (а — b)c = ас-Ьси с (а — b) =са — cb для любых а, Ь е К.

Доказательство. Пользуясь определением вычитания, дистрибутивностью умножения относительно сложения и правилами знаков, получаем (а — Ь) с = (а + (—Ь))с = ас + (-Ь)с = = ас + (-(Ьс)) = ас — Ьс. Аналогично доказывается второе равенство.

Контрольные вопросы

1. Обязано ли быть коммутативным кольцо К, если в нем выполняется равенство а²-Ъ²= (а + b) (а — b) для любых а, Ь е К?
2. Существуют ли кольца, в которых равенство а²-Ъ² = (а + Ь) х х (а — Ь) не является тождеством?
3. Существуют ли кольца, в которых ас = Ьс и с ^ 0, но а * Ь7
4. Существуют ли кольца, в которых а Ф 0, Ь Ф 0, но ab = 0?
5. Если кольцо содержит натуральные числа, то будет ли оно содержать все целые числа? Обязано ли оно содержать все рациональные числа?

Задачи

Среди данных множеств, рассматриваемых относительно сложения и умножения, укажите кольца. Отметьте коммутативность или некоммутативность кольца, наличие или отсутствие делителей нуля, делителей единицы.

Основные свойства колец. (множество целых комплексных чисел').

11. Множества многочленов Z[x], QM, Е[х], С[х] относительно их сложения и умножения.
12. Множетства многочленов Z[x_b х₂], Q[Xj, х₂], Щх_ь х₂], С[х_ь х₂].
13. А₉ — множество всех многочленов кольца К[х] с нулевым свободным членом.

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой

Другие работы

Структура электронных оболочек атомов

Любая физическая система тем устойчивее, чем меньше ее потенциальная энергия. Поэтому мы неизменно наблюдаем, что брошенное тело надает на землю или скатывается с горки вниз, согнутая пружина выпрямляется и т. д. Также и электронные оболочки атомов находятся в устойчивом состоянии, если общий запас энергии электронов минимален. Набор возможных энергетических состояний атома мы уже знаем…

Реферат