Основные свойства колец

Прежде всего отметим, что для аддитивной группы кольца К справедливы все свойства аддитивных групп. Рассмотрим свойства колец, связанные с умножением.

1. (Свойство нуля). Для любого элемента, а кольца К, а ? 0 = = 0 • а = 0.

Доказательство, а? 0 = а ( 0 + 0)=а-0 + а- 0=>а-0 = а0 + + а • 0. Прибавив к обеим частям этого равенства по -(а • 0), получим 0 = а • 0. Подобным же образом доказывается, что 0? а = 0.

2. (Правила знаков). Для любых элементов, а и Ь кольца К имеют место равенства (-а)Ь = а (-Ь) = -(аЬ), (—а) (—b) = ab.

Доказательство. Имеем: ab + (-а)Ь = (а + (-а))Ь = 0 Ъ = 0 => => (-а)Ь = —(аЬ); аналогично доказывается, что а (-Ь) = —(аЬ). Используя доказанное, получаем (-а)(-Ь) = -(а (-Ь)) = = -(-(аЬ)) = ab.

Определение 2.4. Вычитанием в кольце К называется бинарная операция «-», которая задается формулой аЪ = а + + (-Ь) для любых а, ЬеК.

3. Умножение в кольце дистрибутивно относительно вычитания: (а — b)c = ас-Ьси с (а — b) =са — cb для любых а, Ь е К.

Доказательство. Пользуясь определением вычитания, дистрибутивностью умножения относительно сложения и правилами знаков, получаем (а — Ь) с = (а + (—Ь))с = ас + (-Ь)с = = ас + (-(Ьс)) = ас — Ьс. Аналогично доказывается второе равенство.

Контрольные вопросы

• 1. Обязано ли быть коммутативным кольцо К, если в нем выполняется равенство а²-Ъ²= (а + b) (а — b) для любых а, Ь е К?
• 2. Существуют ли кольца, в которых равенство а²-Ъ² = (а + Ь) х х (а — Ь) не является тождеством?
• 3. Существуют ли кольца, в которых ас = Ьс и с ^ 0, но а * Ь7
• 4. Существуют ли кольца, в которых а Ф 0, Ь Ф 0, но ab = 0?
• 5. Если кольцо содержит натуральные числа, то будет ли оно содержать все целые числа? Обязано ли оно содержать все рациональные числа?

Задачи

Среди данных множеств, рассматриваемых относительно сложения и умножения, укажите кольца. Отметьте коммутативность или некоммутативность кольца, наличие или отсутствие делителей нуля, делителей единицы.

(множество целых комплексных чисел').

• 11. Множества многочленов Z[x], QM, Е[х], С[х] относительно их сложения и умножения.
• 12. Множетства многочленов Z[x_b х₂], Q[Xj, х₂], Щх_ь х₂], С[х_ь х₂].
• 13. А₉ — множество всех многочленов кольца К[х] с нулевым свободным членом.