Определение и основные свойства полей

Определение поля, примеры

Начнем с определения поля как «хорошего» в некотором смысле кольца.

Определение 2.5. Полем называется коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором для каждого ненулевого элемента существует обратный элемент.

Теперь определим поле без использования понятия кольца.

Определение 2.6. Полем называется алгебраическая система (Р, +, •) с основным множеством Р, на котором определены бинарные операции сложения и умножения, причем выполняются следующие условия.

• 1. Свойства сложения.
• 1.1. Сложение ассоциативно и коммутативно: (а + Ъ) + с - = а + (Ь + с) иа + Ь = Ь + а для любых a, b, ce Р.
• 1.2. Существует элемент Об Р, называемый нулем, такой что О + а = а для любого а е Р.
• 1.3. Для любого, а € Р существует элемента е Р, называемый противоположным для а, такой что а + (-а) = 0.
• 2. Свойства умножения.
• 2.1. Умножение ассоциативно и коммутативно: (а • Ь) • с = = а • (Ь ? с) и а ? b = b ? а для любых а, b, с е Р.
• 2.2. Существует элемент 1 е Р, называемый единицей, такой что 1*0и1-а = а для любого, а е Р.
• 2.3. Для любого элемента а е Р, отличного от нуля, существует элемент а^-1 е Р, называемый обратным для а, такой что, а • а^-1 = 1.
• 3. Умножение дистрибутивно относительно сложения: а - (Ъ + + с)=а-Ь + ас для любых a, b, c е Р.

Наконец, сформулируем более краткое определение, использующее понятие группы.

Определение 2.7. Полем называется алгебраическая система (Р, +, •) с основным множеством Р, на котором определены бинарные операции сложения и умножения, причем система (Р, +) является коммутативной группой, которая называется аддитивной группой поля, система (Р*, •), где Р* = Р {0} (множество элементов, отличных от нуля) также является коммутативной группой, которая называется мультипликативной группой поля, и умножение дистрибутивно относительно сложения.

Приведем примеры полей.

• 1. Числовые поля.
• 1.1. Множество всех рациональных чисел Q относительно сложения и умножения (поле рациональных чисел).
• 1.2. Множество всех действительных чисел Е относительно сложения и умножения (поле действительных чисел).
• 1.3. Множество Р = Q+Q[p ={a + bjp a, b е Q}, где р — простое число.
• 1.4. Отрицательный пример: кольцо целых чисел не является полем, поскольку в нем, например, для числа 2 нет обратного, так как не существует такого целого числа Ь, для которого 2Ъ = 1.

Упражнение 2.2. Докажите, что числовые множества, перечисленные в примерах 1.1., 1.2, 1.3, относительно операций сложения и умножениия являются полями.

2. Примером конечного поля является поле^классов вычетов Z_p по простому модулю р. Например, Z₃ = {0,1,2}.

Упражнение 2.3. Составьте таблицы сложения и умножения элементов поля Z₃, найдите аддитивные порядки всех элементов и мультипликативные порядки элементов, отличных от нуля. Рассмотрите по этой же схеме поля Z₂ и Z₅.

3. Кольцо М"(Е) всех квадратных матриц порядка п > 2 над полем R относительно сложения и умножения матриц не является полем, хотя бы потому что оно не коммутативно.

Упражнение 2.4. Докажите, что полями являются следующие кольца матриц:

Исторический экскурс Термин «поле» впервые появился в книге П. Дирихле (1805— 1859) «Теория чисел», в примечаниях и дополнениях, написанных Р. Дедекиндом (1831—1916). Первоначально Дедекинд пользовался термином «рациональная область», что отражает замкнутость поля относительно «рациональных операций»: сложения, вычитания, умножения и деления.