Подполя, подкольца, идеалы

Аналогами подгрупп в группах являются подкольца и подполя в кольцах и полях.

Определение 2.9. Подмножество Я кольца К (поля Р) называется подкольцом (соответственно подполем), если оно само является кольцом (полем) относительно сужения на Я операций сложения и умножения, определенных в К (соответственно в Р).

Подкольцо (подполе) называется собственным, если оно не совпадает с самим кольцом (полем).

Используя критерий подгруппы, получаем критерии подкольца и подполя.

Теорема 2.1 (критерий подкольца). Подмножество Я кольца К является подкольцом тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

• 1) подмножество Я замкнуто относительно операций сложения и умножения, т. е. если а, b е Я, то, а + b е Я и, а? Ъ е Я;
• 2) Я содержит нуль данного кольца К;
• 3) если, а е Н, то противоположный элемента е Я.

Теорема 2.2 (критерий подполя). Подмножество Р поля

F является подполем тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

• 1) подмножество Р замкнуто относительно операций сложения и умножения: если a, b е Р, то, а + b е Р и, а? b е Р;
• 2) Р содержит нуль и единицу данного поля F;
• 3) если, а е Р, то противоположный элемента е Р, и если а ^ 0, то а-¹ е Р.

Примеры.

• 1. Кольцо целых чисел Z является подкольцом кольца (поля) рациональных чисел Q. Поле Q является подполем поля действительных чисел М, а оно в свою очередь является подполем поля комплексных чисел С.
• 2. Кольцо К = {а + Ь%/3 | a, b е Z} содержит подкольцо Z, а поле Р = {а + bj3 | a, b е Q} содержит подполе Q.

Упражнение 2.6. Есть ли в поле Р-{а + Ь>/з | a, b е Q} другие подполя, кроме Q?

Легко доказать, что пересечение двух и более подколец (подполей) является подкольцом (соответственно подполем). «Самым большим» подкольцом (подполем) является само кольцо (поле). «Самым маленьким» подкольцом является нулевое подкольцо, состоящее из одного нулевого элемента данного кольца. Вид «самого маленького» подполя будет выяснен позже. Числовым кольцом (полем) называется всякое подкольцо (подполе) поля комплексных чисел.

В кольце целых чисел подкольцо четных целых чисел 2Z = {2п | п е Z} замкнуто не только относительно сложения, но и относительно умножения на любое целое число. Рассмотрим в произвольном кольце подмножества с такими же свойствами.

Определение 2.10. Подкольцо Я кольца К называется идеалом, если оно замкнуто относительно умножения на любой элемент из К, т. е. для любого хе Ни любого к е К произведения кх, хк? Я.

Определение 2.11. Пусть дано коммутативное кольцо К и а_ь а₂, …, а_п е К. Подмножество {к₁а₁ + к₂а₂ + … + к_па_п k_v к₂, …, к_п? К} является, очевидно, идеалом в К, который называется идеалом, порожденным элементами а_ь а₂, …, а_п, и обозначается (а_1; а₂, …, а_п). В частности, идеал (а) = {ка к? К} называется главным.

Рассмотрим примеры.

• 1. В произвольном кольце нулевое подкольцо есть нулевой идеал: (0) = {0}. Само кольцо К также является идеалом. Если кольцо К содержит единицу 1, то К — (1), поскольку из единицы «можно сделать» любой элемент кольца: а = а-1. Этот идеал называется единичным.
• 2. Докажем, что всякий идеал поля либо нулевой, либо единичный.

Пусть Я—идеал поля Р и 0 Ф, а е Я. Тогда существует элемент а^-1 и ввиду замкнутости Я относительно умножения на любой элемент поля Р имеем е = а ? а^-1 е Я. Но тогда для любого х е Р получаем х-х-ее Я. Следовательно, Я = Р.

Заметим, что всякий идеал в кольце является подкольцом. Обратное неверно. Например, кольцо целых чисел в поле рациональных чисел является подкольцом, но не идеалом.

Легко доказать, что пересечение двух идеалов есть идеал.

Идеал кольца — это в некотором смысле «идеальное подкольцо», т. е. такое подкольцо, которое замкнуто относительно умножения на любой элемент кольца. Ниже мы покажем, что идеалы в кольцах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах.

Контрольные вопросы

• 1. Может ли поле содержать подмножество, являющееся кольцом, но не полем?
• 2. Может ли кольцо содержать подмножество, которое является полем?
• 3. Содержит ли поле комплексных чисел конечные подполя?
• 4. Содержится ли поле Z₃ в поле Z₅?
• 5. Содержится ли кольцо Z₉ в кольце Z₁₀?

Задачи

• 1. Для множеств, указанных в задачах к параграфу 2.1, являющихся кольцами и полями, найдите в них примеры подколец, подполей и идеалов.
• 2. Перечислите все идеалы в кольцах Z₅ и Z₆.
• 3. Докажите, что пересечение двух подколец есть подкольцо, пересечение двух подполей есть подполе и пересечение двух идеалов есть идеал.
• 4. В кольцах многочленов Z [х] и Q [х] найдите подкольца, которые не являются идеалами.
• 5. В поле комплексных чисел найдите все подполя, содержащие поле действительных чисел.
• 6. В поле Р = {а + Ъф2 a, b е Q} найдите все подполя, содержащие Q.