Понятие о законе больших чисел. 
Закон больших чисел в форме Чебышева и форме Бернулли

Под законом больших чисел (ЗБЧ) в теории вероятностей понимается ряд теорем, в которых устанавливается факт асимптотического приближения среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию СВ.

Определение 5.1. Говорят, что последовательность случайных величин — «имеющая конечные математические ожидания, удовлетворяет

закону больших чисел, если.

Замечание 5.4. Если Mt_)l = a, i= 1,2,…, то условие будет иметь вид Определение 5.2. Последовательность случайных величии схо-.

р

дится к СВ ?, по вероятности (обозначение %_п —если для любого с > 0 НтР{|^-^|<8} = 1.

П—>30.

Можно показать, что если

если b * 0.

Таким образом, закон больших чисел устанавливает сходимость по вероятности среднего арифметического большого числа случайных величин к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Закон больших чисел составляют несколько положений, главными из которых применительно к независимым случайным величинам являются теоремы Чебышева и Бернулли.

Теорема 5.2 (ЗБЧ в форме Чебышева). Если ?i,?₂«— ^— последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С, т. е. D< С, / = 1,2, то каково бы ни было постоянное z > 0, выполнено

Доказательство. Чтобы доказать теорему, следует показать, что.

Используя неравенство Чебышева, имеем.

при П—>оо.

Следствие 5.1. Если попарно независимые СВ & = 1, 2,…, таковы, что =а и выполняется <�С, то эти случайные величины удовлетворяют ЗБЧ.

Пример 5.2. Сколько раз нужно измерять величину с истинным значением а, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое этих измерений отличается от а по модулю меньше, чем па 2, если дисперсия измерений не больше 100?

Решение. В соответствии со следствием теоремы Чебышева нужно найти число п, которое удовлетворяет неравенству.

где 8 = 2; D%= 100.

Получим

Таким образом, измерять нужно нс менее 500 раз.

Теорема 5.3. (ЗБЧ в форме Бернулли). Пусть р — число успехов в п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха Р (У) = р. Тогда, каким бы пи было постоянное z > 0, выполнено

Доказательство. Очевидно, р можно записать как где

I_vI₂>—, I_n — независимые СВ, так как каждая из них связана только со своим испытанием. Так как Р (У) = р, то.

т.е. С = ¼, где С — параметр из теоремы 5.2. Таким образом, все условия следствия 5.1 выполнены. Отсюда следует справедливость формулы (5.3).

Замечание 5.5. Поскольку ^ — относительная частота успеха, а р — вероятность успеха, то ЗБЧ в форме Бернулли на практике дает возможность определять неизвестные вероятности приближенно из опыта. Для проверки согласия теоремы Бернулли с опытом было проведено большое число экспериментов, которые дали прекрасное совпадение с теорией.