Хронология и характеристика математических языков

Человек обладает способностью образно различать количества предметов и представлять количественные образы в знаковой или символьной системе, а соответствующая символьная реализация называется натуральным рядом… Рассмотрим несколько примеров математических языков. Сначала проанализируем процесс построения натурального ряда (язык перечисления).

Язык перечисления (натуральный ряд)

Эмпирические свойства, предопределяющие структуру натурального ряда.

• 1о. Любой объект может быть выбран начальным элементом перечисления.
• 2о. Для любого количества перечисленных элементов определено единственное следующее за ним количество.
• 3о. начальному элементу не предшествует никакое количество.
• 4о. Двум одинаковым количествам предшествуют два одинаковых количества.
• 5о. Построенное множество количеств однозначно в том смысле, что все другие построенные таким образом количества совпадают и могут отличаться только символьными системами.

Дадим символьную реализацию операций 1о-5о. Свойство 1о позволяет выбрать первый элемент, обозначим его 1. Свойство 2о устанавливает операцию следования на множестве элементов. Эту операцию представим в виде схемы Свойство 4о указывает, что схема (2) реализоваться не может. Свойство 3о устанавливает первый элемент, и мы приходим к линейной цепочке.

1 > s (1) > … > x > s (x) > …

Наконец, свойство 5о утверждает, что всякая другая линейная цепочка со свойствами 1о-4о будет отличаться только знаковой системой.

1 > > … > > > …

Практическая необходимость перечислять предметы привела к формированию понятия натурального ряда. Практическая же необходимость арифметических операций над натуральными числами приводит к формированию более широкого класса величин — рациональным числам (язык арифметики).