Надежность подшипников качения

Применяемые во всем мире расчеты подшипников качения были первыми вероятностными расчетами машиностроительных объектов. Однако они учитывают рассеяние только динамической грузоподъемности подшипников в предположении детерминированности расчетной нагрузки.

Вероятность безотказной работы подшипников отождествляем с вероятностью выполнения условия.

где Р — динамическая эквивалентная нагрузка; L — заданный ресурс; р — показатель степени, р = 3 для шарикоподшипников и р = 10/3 для роликоподшипников; С — динамическая грузоподъемность.

В отличие от обычных расчетов рассматриваем Р как случайную величину. 90%-ю динамическую грузоподъемность, значение которой приводят в каталогах и справочниках, обозначим С₉₀. Среднее значение динамическойгрузоподъемности в соответствии с ГОСТ_18 855−2013 принимаем С = для роликоподшипников и С = 1,52С₉₀ для шарикоподшипников (обоснование рекомендации приведено далее).

Полагаем, что динамическая эквивалентная нагрузка и динамическая грузоподъемность распределены по нормальному или близкому к нормальному закону. Тогда вероятность безотказной работы определяем по квантилю нормированного нормального распределения.

где п — коэффициент запаса по средним нагрузкам, п = _^ ,.

_ 1,52С₉₀ — 1,46С₉₀. .

т.е. п = ^{и п} = —₃; г_с и i^p— коэффициенты вариации динамической грузоподъемности и динамической эквивалентной нагрузки; С — среднее значение динамической грузоподъемности; Р — среднее значение динамической эквивалентной нагрузки. _.

Среднее значение динамической эквивалентной нагрузки Р вычисляют по зависимостям, в которые подставляют средние значения радиальной и осевой нагрузок, действующих на подшипник.

Коэффициент вариации динамической эквивалентной нагрузки vp принимаем равным коэффициенту вариации внешней нагрузки, действующей на подшипник. Рекомендация основана на равенстве коэффициентов вариации случайных величин, связанных между собой линейной зависимостью.

Коэффициент вариации динамической грузоподъемности принимают v_c = 0,25 для роликоподшипников и v_c = 0,27 для шарикоподшипников.

Основой для рекомендаций по выбору закона и параметров распределения динамической грузоподъемности послужило широко принятое, включая ГОСТ 18 855–2013 и ИСО, предположение о распределении ресурса подшипников по закону Вейбулла. В соответствии с этим законом связь между вероятностью безотказной работы pi и ресурсом L выражается зависимостью.

где Ь)₀ — 90%-й ресурс; а — параметр формы распределения Вейбулла, связанный с рассеянием ресурса (в соответствии с ГОСТ 18 855–2013 а = 1,5).

В расчетах подшипников качения отношение L/L^ называют коэффициентом надежности а, который определяют по формуле, вытекающей из выражения (14.29):

Зависимость коэффициента о, от вероятности p_L при, а = 1,5 представлена на логарифмически нормальной вероятностной бумаге (рис. 14.1).

Рис. 14.1. Распределение относительного ресурса L/L^ подшипников качения Учитывая, что между ресурсом L и динамической грузоподъемностью С существует соотношение С/Сад = (С/С₉₀)^р, получаем.

Структура формулы (14.31), выражающей зависимость С от p_L, указывает, что динамическая грузоподъемность, так же как и ресурс, распределена по закону Вейбулла. Однако для инженерных расчетов распределение динамической грузоподъемности можно аппроксимировать нормальным законом, что резко упрощает вероятностные расчеты.

При аппроксимации среднее значение динамической грузоподъемности С принимаем равным медианному (50%-му) значению С₅₀, отсюда получаем следующее соотношение:

Среднее квадратическое отклонение динамической грузоподъемности S_c определяем через разность 50%-го Сад и 90%-го Сад квантилей. Учитывая, что Сад = С, получаем.

где постоянная 1,28 — 90%-й квантиль нормированного нормального распределения.

Коэффициент вариации динамической грузоподъемности.

Подставляя в формулы (14.32) и (14.33) значения, а = 1,5 и р = = 3 (для шарикоподшипников) или р = 10/3 (для роликоподшипников), получаем приведенные ранее значения параметров нормального распределения динамической грузоподъемности.

Для оценки точности аппроксимации на нормальной вероятностной бумаге (рис. 14.2) построены распределения динамической грузоподъемности роликоподшипников в предположении закона Вейбулла (кривая I) и его аппроксимация нормальным законом (кривая 2). Практическое совпадение распределений в области вероятностей 0,10…0,99 свидетельствует о корректности аппроксимации. Аналогичные результаты получены для шарикоподшипников.

Рекомендации ГОСТ 18 855–2013 и ИСО по выбору для роликоподшипников параметра, а формы распределения ресурса совпадают, т. е. а = 1,5. Для шарикоподшипников ИСО рекоменду;

Рис. 14.2. Распределение относительной динамической грузоподъемности С/С₉₀ роликоподшипников (1) и ее аппроксимации нормальным законом (2).

ет принимать, а = 10/9, что соответствует среднему значению динамической грузоподъемности С = 1,62С_% и коэффициенту вариации v_c= 0,3.

Уточнение расчетных зависимостей для подшипников качения связано с дифференцированным учетом влияния таких факторов, как требуемая надежность подшипника, материал деталей, режим смазки.

В типовых расчетах это учитывается введением в формулу, определяющую ресурс подшипника, корректирующих коэффициентов: а₍ — коэффициента надежности, а₂₃ — объединенного коэффициента материала и режима смазки (в ИСО рассматривается раздельно коэффициент материала а₂ и коэффициент режима смазки а₃).

В предлагаемой форме расчета влияние рассматриваемых факторов учитывается введением в формулу (14.32), определяющую средние значения динамической грузоподъемности, дополнительного сомножителя а^.

Следующим возможным направлением уточнения вероятностных расчетов подшипников качения является учет экспериментально установленного факта непостоянства коэффициента вариации ресурса v_L, в частности его увеличения при росте медианного значения ресурса L₅₀.

В качестве примера на рис. 14.3 приведена зависимость v_Lor Z-so, полученная по результатам испытаний 63 партий роликоподшипников (в партии 20 подшипников).

В предположении описания ресурса законом Вейбулла учет непостоянства коэффициента вариации ресурса v_L приведет к.

Рис. 14.3. Зависимость коэффициента вариации ресурса роликоподшипников от его медианного ресурса пересмотру рекомендаций по выбору значения параметра формы а, так как между v_L и, а существует функциональная зависимость. Следует ожидать, что с ростом медианного значения ресурса, например вследствие улучшения технологии изготовления подшипников, уменьшится значение коэффициента формы а.

Пример 14.3. Определить вероятность безотказной работы роликоподшипника 2207, нагруженного случайной радиальной силой, коэффициент вариации которой v_F= 0,12. Частота вращения внутреннего кольца подшипника п = 300 мин^-1, требуемый ресурс L_h = 3 500 ч, среднее значение эквивалентной нагрузки Р = 4500 Н.

Решение. По каталогу-справочнику определяем 90%-ю динамическую грузоподъемность = 25 600 Н.

Вычисляем заданный ресурс в миллионах оборотов.

Среднее значение динамической грузоподъемности, Н:

Коэффициент запаса по средним значениям С и Р будет равен:

Коэффициент вариации эквивалентной динамической нагрузки принимаем равным коэффициенту вариации внешней нагрузки v_p = u_F — = 0,12.

Квантиль нормированного нормального распределения.

По таблицам нормального распределения в зависимости от полученного значения квантили и_р находим, что вероятность безотказной работы рассчитываемого подшипника p_L = 0,989.