Вид дифференциального уравнения

В зависимости от числа независимых переменных различают:

• • обыкновенные дифференциальные уравнения, которые связывают одну независимую переменную х, искомую функцию у (х) и ее производные. Обычно независимой переменной х является время t. С помощью этих уравнений описывают цепи с сосредоточенными параметрами;
• • дифференциальные уравнения с частными производными, содержащие, по меньшей мере, одну частную производную k-то порядка от неизвестной функции у (х_{, х₂, х_п), где п — число независимых переменных. Этот вид уравнений используется для описаний длинных линий (гл. 5), независимыми переменными при описании которых служат координата х линии и время t.

Описание цени с сосредоточенными параметрами может быть представлено в виде следующего дифференциального уравнения:

где х = x (t) — воздействие; у = y (t) — выходная реакция, или отклик.

Коэффициенты Ь_п дифференциального уравнения выражаются через параметры компонентов, определяют свойства цепи и в сильной мере влияют на протекающие в цепи процессы. Рассмотрим три случая.

• 1. Постоянные параметры R, L, С компонентов соответствуют дифференциальному уравнению (1.5.2) с постоянными коэффициентами b_n = const, которое как оператор цепи удовлетворяет соотношениям (1.5.1). Поэтому цени, описываемые уравнением (1.5.2) с постоянными коэффициентами, относятся к линейным цепям.
• 2. Уравнение (1.5.2), в котором хотя бы один из коэффициентов b_rl = b_n(t) является функцией времени, описывает линейную цепь с переменными параметрами R (t), L (t) или C (t), или параметрическую цепь. Для такой цепи принцип суперпозиции остается в силе. Это означает, что выполняются соотношения (1.5.1) и решение уравнения (1.5.2) является суммой независимых частных решений. Однако частные решения представляют собой сложные (негармонические) функции, т. е. параметрическая цепь (в отличие от линейной) создает гармонические колебания с новыми частотами. Действительно, если /?(?)=/? cos co_t?, а воздействие i (t)=1 cosco₂t, то отклик

В силу второго соотношения в (1.5.1) амплитуды отклика изменяются пропорционально амплитуде / воздействия. Отметим, что непосредственно реализуемые параметрические цени (в «чистом виде») по ряду причин не находят практического применения. Например, параметрический конденсатор конструктивно представляет собой неподвижные (статорные) пластины с вращающимися (роторными) пластинами, что не вписывается в полупроводниковую технологию изготовления современных электронных устройств. Однако в ряде случаев описание цепей, составленных из нелинейных элементов, сводят к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами b_n(t).

3. Уравнение (5.1.2) описывает нелинейную цепь, если хотя бы один из коэффициентов Ь_п = Ь_п(х) является нелинейной функцией воздействия (тока, напряжения, заряда, потокосцепления). Такая цепь содержит компоненты с нелинейными характеристиками, и для нее принцип суперпозиции не выполняется. Ее отклик при воздействии гармонического колебания содержит новые спектральные составляющие. Действительно, если и = Ах¹, г = I coscot, то.

Кроме того, амплитуды отклика напряжения не пропорциональны амплитуде воздействия. Можно сказать, что амплитуда воздействия влияет на структуру спектра отклика: при малой амплитуде воздействия в спектре отклика остается составляющая с частотой воздействия, т. е. нелинейная цепь вырождается в линейную.

В заключение отметим, что:

• • основная область применения (функция) линейных цепей — усиление колебаний и фильтрация;
• • параметрические цепи не находят практического применения, однако в ряде случаев используются при моделировании устройств на нелинейных элементах, описание которых сводят к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами h_n(t);
• • с помощью нелинейных цепей реализуются все преобразования сигналов, связанные с трансформацией спектра: генерирование колебаний, модуляция, детектирование, преобразование частоты и др.

В гл. 2—8 рассмотрены вопросы теории линейных цепей, гл. 9 и 10 посвящены нелинейным цепям.