Метод последовательных приближений

Идея метода последовательных приближений состоит в том, что решение нелинейной задачи сводится к решению набора линейных задач. Предположим, мы знаем некоторую функцию v₀(x), которая удовлетворяет граничным условиям и является грубым приближением к точному решению и (х).

Пусть.

где wо (х) — малая поправка к функции г₀(.г). Подставим выражение (7.47) в уравнение (7.43) и проведем линеаризацию:

где.

Пренебрегая слагаемым 0(…), мы получим линейную задачу для поправки щ (х):

Решая линейную задачу (7.48), мы найдем поправку Шо (г), тогдаⁱ (x) =^о (дг) + ш₀(х) будет следующим приближением к решению и (х).

Таким образом, рассмотренная процедура определяет последовательность линейных краевых задач, решения которых сходятся к решению исходной нелинейной краевой задачи. Хотя в общем случае доказать наличие сходимости довольно затруднительно, тем не менее этот метод может использоваться для получения хороших начальных приближений при решении нелинейных систем типа (7.45).

Пример 7.9 (метод последовательных приближений) Рассмотрим задачу (7.46). Если мы возьмем начальное решение Vq (x) = лг1п (2), тогда уравнение (7.48) примет вид (у = 1п (2)).

Численно решая это уравнение для h = 0.1, мы получим сеточную функцию Vq = {шо, нЬ показанную на рис. 7.10. Следующее приближение определяется как

Рис. 7.10. Приближенное решение задачи (7.46):

—точное решение;——щ (х) • • • — w₀(x)

и ошибка этого приближения равна.

Эти результаты показывают, что в данном случае решение линеаризованной задачи дает довольно хорошее приближение к решению исходной нелинейной задачи.