Определение максимального размера кристалла в процессе агрегации

В данном разделе будет определена зависимость для максимального размера кристалла для случая процесса агрегации с помощью вариационного принципа минимума производства энтропии.

' Известно [7], что рост кристаллов CaSO,-0,5H₂O в растворе при разложении природных фосфоритов в присутствии серной и фосфорной кислот происходит за счет их агрегации. Уравнение баланса числа частиц в растворе, в котором происходит рост кристаллов за счет столкновения и агрегации, имеет вид [8J (см. § 1.1).

где К {г, р)—функция, носящая название коэффициента агрегации— вероятность агрегации включений с объемами г и р; f®dr — число кристаллов в единице объема, размеры (объемы) которых лежат в [г, r+dr].

В разд. 1.2.3 было получено на основании уравнения (3.29) и уравнений сохранения импульса, энергии при агрегации, соотношений Гиббса, производство энтропии системы, в которой происходит процесс агрегации. Выпишем только ту часть производства энтропии, которая имеет отношение к агрегации кристаллов.

причем /_аг == /С (р, г—p)f (p)rfp—поток частиц размером (объемом) р к частице размера (г—р); Х«—движущая сила агрегации, равная

где.

— работа дисперсной фазы, идущая на столкновение частиц; (г)—скорость частицы, имеющей объем г; р₂° — плотность кристалла;

— собственно энергия взаимодействия частиц, рассчитанная на единицу площади контакта, причем составляющая U_— Ван-дерваальсова составляющая энергии взаимодействия; U+—энергия отталкивания частиц; S — площадь контакта фаз (см. разд.1.2.3). Было показано, что /((р, г—р) можно представить в виде.

где L_ar— феноменологический коэффициент.

В § 1.2 также для разных режимов было определено значение феноменологического коэффициента L_ar.

Пусть теперь в нашей системе происходит рост кристаллов CaSOi-0,5H₂O за счет агрегации кристаллов. И пусть существует такой кристалл, который больше не увеличивается в размерах. Назовем этот размер стационарным, так как он не меняется во времени. В стационарном состоянии производство энтропии минимально, поэтому должно выполняться уравнение Эйлера — Лагранжа, а именно,

Подставляя выражение (3.30) в уравнение (3.35), получим К (г/2, г/2)А'_агр (г)/²(г/2) =0, или, учитывая зависимость (3.34),.

Так как функция f (г/2) Ф0, следовательно, и.

т. е. максимальный размер обеспечивает движущая сила агрегации, равная нулю.

Собственно энергию взаимодействия двух частиц с линейными размерами /, и 1₂ можно представить в виде [8].

здесь параметры k_u k₂, k, не зависят от размера.

В турбулентном потоке скорость частицы v₂(r/2) можно представить через удельную мощность на перемешивание [9] соотношением.

где е—удельная мощность на перемешивание; а—радиус частицы объема г. Тогда, подставляя зависимость (3.38)—-(3.39) в уравнение (3.37), имеем уравнение для определения максимального линейного размера а, достигаемого при агрегации кристаллов.

Из уравнения (3.40) определим зависимость для максимального размера кристалла.

Таким образом, зависимость для максимального размера кристалла при агрегации определена из принципа минимума производства энтропии.

Пусть при некоторой удельной мощности, расходуемой на перемешивание, будет известен максимальный размер кристалла; например, удельной мощности на перемешивание е^<0) соответствует максимальный размер Стах. Тогда из соотношения (3.41) можно получить.

где Стах—максимальный размер, достигаемый при мощности на перемешивание, равной е⁽⁰.

Тогда имеем соотношение, связывающее максимальный размер кристалла и удельную мощность на перемешивание:

Соотношение (3.43) было проверено на экспериментальных данных по кристаллизации CaSO₄*0,5H₂O, полученных Тхай Ба Кау [10] при различных удельных мощностях на перемешивание. Результаты представлены в табл. 3.1.

Таблица 3*1. Сравнение экспериментальных и расчетных данных по определению максимального размера кристалла.

Следовательно, можно утверждать, что максимальный допустимый размер при агрегации кристаллов (рост которых происходит только за счет агрегации) обратно пропорционален удельной мощности на перемешивание в степени ¼, т. е.