Обнаружение гетероскедастичности. 
Эконометрика

Обнаружение гетероскедастичности в каждом конкретном случае является сложной задачей. Для знания дисперсий отклонений необходимо знать распределение случайной величины У, соответствующее выбранному значению х-_{ (для одного значения x_t иметь набор значений У). На практике для каждого конкретного значения x_i определяется единственное значение y_v что не позволяет оценить дисперсию случайной величины У.

¹ Бородич С. А. Эконометрика: учеб, пособие. Минск: Новое знание, 2001. С. 236.

Поэтому не существует какого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности.

Для определения наличия в выборке гетероскедастичности рассмотрим следующие тесты: графический анализ остатков, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Глейзера и тест Голдфельда — Квандта. Выбор обусловлен относительной простотой тестов и наиболее частым их употреблением.

Графический анализ остатков. Использование графического представления отклонений позволяет определиться с наличием или отсутствием в модели гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладываются значения х_х объясняющей переменной X, а в случае множественной регрессии — линейной комбинации объясняющих переменных.

а по оси ординат — отклонения е, — или их квадраты ef, i- 1,2,…, п. Если все отклонения в, находятся внутри полосы постоянной ширины, а отклонения вf находятся внутри полуполосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс, это говорит о независимости дисперсий случайных отклонений ef от значений переменной X и их постоянстве, т. е. в этом случае выполняются условия гомоскедастичности. Отметим, что графический анализ отклонений является удобным и достаточно надежным в случае парной линейной регрессии. На рис. 5.2 приведен пример графика отклонений ef от соответствующего значения объясняющей переменной х_х. Очевидно, что отклонения не укладываются в полуполосу постоянной ширины. В данной модели дисперсии случайных отклонений непостоянны. В модели присутствует гетероскедастичность.

Рис. 5.2. График отклонений случайной составляющей е? от величины объясняющей переменной х_{

Тест ранговой корреляции Спирмена. Тест выполняется в предположении о том, что дисперсия случайного члена а, = а (е_у) меняется с изменением значения х_г Следовательно, абсолютные величины остатков е_х и х_г будут коррелированы. Для проверки того, что дисперсия случайного члена коррелирует с изменением .г, ранжируются величины .г, и |е,| и определяется коэффициент ранговой корреляции Спирмена

где Д — разность между рангами х, и |"г,-| {ранг — порядковый номер значения переменной в ранжированном ряду).

Проверка основной гипотезы #₀ (значимость г) проводится по Г-тесту:

Если У_набл > ?_кр = t_a. _v, то гипотеза Я₀ отклоняется, следовательно, имеет место гетероскедастичность. Критическое значение ?_кр = t_a. _v берется по таблицам распределения Стыодента; здесь а — уровень значимости; v = п — 2 — число степеней свободы.

Тест Глейзера. В тесте Глейзера ошибка случайного члена базируется на более общих представлениях о значении объясняющей переменной. Например, ошибка случайного члена может аппроксимироваться выражением Gj = а + $х] + |е, |. Далее данная регрессионная зависимость оценивается при различных значениях параметра у, и выбирается наилучшая. Для оценок гетероскедастичность случайного отклонения аппроксимируется таким уравнением:

где Sj = е- — оценка ст_г С помощью статистики Стьюдента проверяется основная гипотеза Я₀ — отсутствие гетероскедастичности. Гипотеза Я₀ отклоняется, если коэффициент b в уравнении (5.1) значимо отличается от нуля. Отметим, что для большинства экономических расчетов параметр у = 1.

Тест Голдфелда — Квандта. Тест выполняется в предположении о том, что стандартное отклонение а, = а (е_;) пропорционально значению переменной X в этом наблюдении, т. е. of — o²xf, i =1,2,…, п. Второе предположение — е, имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков.

Последовательность выполнения теста Голдфелда — Квандта следующая.

• 1. Все п наблюдений упорядочиваются по величине X.
• 2. Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на три группы

(подвыборки) размерностей k, (п — 2k), k соответственно ().

3. Оцениваются отдельно регрессии для первой подвыборки {k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X верно, то дисперсия регрессии по первой подвыборке (сумма квадратов отклонений)

будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке (суммы квадратов отклонений).

4. Для сравнения дисперсий 5, и 5₃ строится следующая /—статистика:

где р — число объясняющих переменных в каждом уравнении регрессии. Если 5, > 5₃, то При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная /'-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы v, = v₃ = k — р — 1.

5. Если.

то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. Здесь а — выбранный уровень значимости.

Отметим, что этот тест предназначен для анализа больших массивов данных и не всегда его результаты совпадают с результатами других тестов при недостаточном числе наблюдений. В случае множественной линейной регрессии проверка гетероскедастичности производится по каждой из объясняющих переменных.

Пример 5.1.

Имеются условные данные по выпуску продукции у на одного работника х (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Исходные данные к примеру 5.1.

Построим модель парной линейной регрессии и проверим наличие гетероскедастичности.

Решение. Пусть модель регрессии выражается линейным уравнением Используя обычный МИК, получим

Проверим модель на наличие гетероскедастичности, применяя рассмотренные выше методы.

1. Графический анализ остатков.

В табл. 5.2 приведены значения остатков, полученные по уравнению регрессии.

Таблица 5.2

Значения остатков.

График остатков е, = г/_; -y_t позволяет предполагать наличие гетероскедастичности (рис. 5.3).

Рис. 53. График остатков.

2. Проверка гетероскедастичности по тесту Спирмена.

Для этого расположим все наблюдения в порядке возрастания объясняющей переменной .г, рассчитав y_t. найдем остатки е, модуль остатков |е, |, в порядке возрастания ранги Xj и е_:| и квадрат разности между этими рангами Df. Результаты представлены в табл. 5.3.

Таблица 53

Расчеты для теста Спирмена.

Находим коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

Проверяем значимость полученного коэффициента по ?-тесту:

Т ак как ?_кр = _v = ?(0,05; 16) = 2,12, гипотеза Я₀ отклоняется, следовательно, имеет место гетероскедасти ч ность.

3. Проверка гетерос кедасти чности по тесту Глейзера.

Гетероскедастичность случайного отклонения аппроксимируется уравнением (5.1) для у = 1: S; = а + bxj.

Остатки для уравнения регрессии = 13,53 + 2,86х, представлены в табл. 5.2. Применяя обычный МНК к. г, и e_t| (столбцы 2 и 3 табл. 5.3), находим коэффициенты а и b:

здесь Sj = е

Значимость коэффициента b:

Гипотеза Я₀ отклоняется, b значимо отличается от нуля. В модели имеет место гетероскедастичность (определение S_b рассмотрено в параграфе 3.5).

4. Проверка гетероскедастичности по тесту Голдфелда — Квандта. Упорядоченная по х выборка (см. табл. 5.1) разбивается на три группы 6 — 6 —.

б наблюдений. Для первой и третьей групп по МНК строятся уравнения регрессии:

и находится отношение квадратов остатков.

Критическое значение F_Kp = F₀₀₅.₄.₄ ⁼ 6,39. Так как наблюдаемое значение больше критического, нулевая гипотеза #₀ отклоняется. Гетероскедастичность в выборке, представленной в табл. 5.1, есть.

Вывод. Все тесты показали наличие гетероскедастичности остатков, т. е. невыполнение одной из предпосылок МНК.

Замечание 5.1. Если хотя бы один из примененных тестов показал наличие гетероскедастичности, а остальные — нет, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.