Уравнение движения в форме Громеки-Лэмба

Если в (2) в правую часть подставить ускорение в виде (7) либо (8), то это приводит к уравнению движения в форме Громеки-Лэмба. Для установившегося движения имеем.

(9).

Выполним некоторые преобразования (9).

В разделе гидростатики было введено понятие о скалярной функции, называемой силовой. Было показано, что.

(10).

Поскольку эта функция является полным дифференциалом, то можно записать.

(11).

Сопоставляя (10) и (11), получаем.

(12).

С другой стороны вектор, проекциями которого являются X, Y, и Z.

(13).

Из (12) и (13) следует, что.

(14).

С учетом (14) выражение (9) принимает вид.

(15).

Следует иметь в виду, что эта форма записи справедлива лишь для несжимаемой жидкости, т. е. при условии. И, наконец, уравнению движения (15) можно придать более удобную для анализа форму, умножив скалярно его левую и правую части на произвольный направленный отрезок.

(16).

Опуская эту операцию, которую обучающийся при желании может выполнить самостоятельно, приведем лишь конечный результат.

(17).

Ламинарное течение

Гидродинамика ламинарных течений изучает поведение жидкости в нетурбулентном режиме. Во многих случая уравнения гидродинамики имеют достаточно простой вид и могут быть решены точно. Некоторые наиболее важные задачи этого раздела гидродинамики:

стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости при различных граничных условиях стационарное течение вязкой жидкости, уравнение Навье-Стокса волны на поверхности идеальной несжимаемой жидкости и прочие нестационарные явления ламинарное обтекание конечных тел течения в различных несмешивающихся жидкостях, тангенциальные разрывы и их устойчивость струи, капли и прочие течения конечных размеров Ламинарное течение наблюдается при малых значениях числа Рейнольдса. Начиная с некоторого определенного значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Для воды в гладких круглых трубах Re_кр = 2000.

В случае ламинарного течения жидкости согласно третьему закону Ньютона более медленные слои за счет вязкого трения тормозят более быстрые и наоборот, быстрые ускоряют медленные. Причем молекулы стенок трубы не имеют тангенциальной составляющей скорости, и пограничный слой жидкости жестко «прилипает» к ее стенкам. Таким образом, скорость движения отдельных равноудаленных от оси трубы цилиндрических слоев жидкости возрастает от нулевого до максимального значения по мере удаления от стенок трубы (см. рисунок). При стационарном течении распределение скоростей по сечению трубы имеет параболический характер.

Рассчитаем поток или количество жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы S в единицу времени. В случае однородного поля скоростей величина потока Q зависит от скорости течения жидкости u по формуле Q = v· S.

Рассчитаем поток жидкости dQ, вытекающей из цилиндрического слоя толщиной dr, расположенного на расстоянии r от оси трубы, а затем проведем интегрирование по всем слоям от 0 до R.

dQ = v®· dS = v®· 2р·r·dr,.

где dS — площадь поперечного сечения цилиндрического слоя.

Для ответа на поставленный вопрос необходимо найти зависимость v®. Выделим цилиндр радиусом r и длиной L, расположенный симметрично осевой линии трубы. При стационарном течении скорость течения со временем не изменяется, следовательно, сумма всех сил, действующих на все объемы жидкости, равна нулю. На выделенный цилиндр действуют следующие силы: сила давления, равная произведению разности внешних давлений на площадь поперечного сечения выделенного объема, и сила вязкого трения, действующая на боковую поверхность цилиндра радиусом r, рассчитываемая по формуле Ньютона. Таким образом,.

(p₁ — p₂)р· r² = м· |dv/dr|·2р·r·L.

Преобразуя предыдущее уравнение, получим, что.

— dv = (p₁ — p₂)· r·dr/(2м·L).

Проинтегрировав это выражение с учетом граничных условий v = 0 при r = R, получим формулу для расчета скорости слоев жидкости, расположенных на расстоянии r от оси трубы:

v® = (p₁ — p₂)· (R² — r²)/(4м· L).

Максимальная скорость, достигаемая в центре трубы v₀, равна:

v₀ = (p₁ — p₂)· R²/(4м·L).

Проведя интегрирование по радиусу, найдем выражение для потока жидкости, вытекающей из трубы:

Q = (p₁ — p₂)· р·R⁴/(2м·L).

Это соотношение называется формулой Пуазейля.

Из него следует, что поток в случае стационарного течения жидкости обусловлен перепадом давлений, зависит от геометрии трубы и свойств жидкости. Следует обратить внимание на существенную зависимость пропускной способности трубы от ее радиуса R. При заданном давлении на входе водопроводной сети увеличение диаметра труб вдвое влечет увеличение их пропускной способности в 16 раз!

Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефтеи газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении. Так, в частности, коэффициент трения при ламинарном режиме практически не зависит от шероховатости внутренней поверхности трубы (гладкие трубы).

Пользуясь формулой Пуазейля можно определить вязкость жидкости. Так, например, в опыте, изображенном на рисунке ниже, легко измерить разность давлений и расход жидкости и при известном радиусе горизонтальной трубки посчитать вязкость жидкости Однако более удобно вязкость жидкости определять по методу Стокса, измеряя время падения шарика в этой жидкости.

Параболический профиль скорости слоев, как нетрудно подсчитать, будет и при течении жидкости между двумя пластинами. Если этот рисунок разрезать посередине на высоте и наклонить нижнюю пластину под углом б, то мы получим картину слоистого течения воды в реке под действием силы тяжести. Вместо перепада давления dp/dx мы можем использовать компоненту силы тяжести F_x = сg sin б при расчете профиля скоростей течения.