Идеальная дискретизация. 
Оптические измерения. 
Компьютерная интерферометрия

Пусть функция Fi (x, у) описывает исходное непрерывное изображение бесконечных размеров. В идеальной системе пространственные отсчеты исходного изображения получаются путем перемножения этой функции с пространственно-дискретизирующей функцией [ 10]:

Эта функция представляет собой бесконечное число дельтафункций, заданных в узлах решетки с шагами Ах и Ду.

Двумерная функция 8(х, у) может быть представлена как произведение двух одномерных: 8(х, у) = 8(х)8(у).

Двумерная дельта-функция Дирака (рис. 1.19) есть сингулярный оператор, обладающий следующими свойствами:

Рис. 1.19. Двумерная дельта-функция Дирака.

Дискретизированное изображение можно записать так:

Непрерывный аналоговый сигнал представляется последовательностью его значений (отсчетов). Отсчеты берутся в точках, отделенных друг от друга интервалом дискретизации (Ах, Ау). Величину, обратную интервалу между отсчетами, называют частотой дискретизации. Пространственной частотой называют отношение периода сигнала к интервалу дискретизации. Понятно, что чем меньше интервал дискретизации и соответственно выше частота дискретизации, тем меньше различия между исходным сигналом и его дискретизированной копией.

Для анализа процесса дискретизации удобно воспользоваться спектром Ф_р(со_х, со_>.), получаемым в результате непрерывного двумерного преобразования Фурье дискретизированного изображения объекта:

Функцию Ф_р(а)_х, со,) можно представить в виде свертки:

где F/((o_x, Ю;,) — спектр исходного изображения; ф (о)" о)_у) — спектр дискретизирующей функции.

Двумерное преобразование Фурье дискретизирующей функции дает бесконечный набор дельта-функций в плоскости частот с шагом , т. е.

Вычисляя свертку, получим.

Из этого выражения видно, что спектр дискретизированного изображения получается путем бесконечного повторения спектра исходного изображения со сдвигом на величины, кратные со = —,.

Дх.

co_yj Если Дх и Ду выбраны слишком большими по сравнению с шириной спектра Ф^ш*, со_у), то соседние спектры будут перекрываться друг с другом (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Повторение спектров в результате дискретизации.

На верхнем графике спектр сигнала такой, что при.

, на нижнем — полоса частот исходного сигнала шире. В первом случае по можно точно определить Ф₇ и, следовательно, восстановить сигнал F_t по его дискретному представлению F_p. Это невозможно во втором случае из-за перекрытия членов уравнения (1.19).

Теорема Котельникова (в зарубежной литературе эта теорема известна как теорема Шеннона или критерий Найквиста).

Пусть  — максимальные значения со, при

которых фурье-образ не равен нулю. Тогда сигнал F (x, у) поддается точному восстановлению по выборочным отсчетам, если расстояние между соседними отсчетами меньше или равно

Частотыназываются частотами среза или частота

ми Найквиста.

Таким образом, частота дискретизации по крайней мере должна быть в два раза больше полосы частот исходного аналогового сигнала. В этом случае непрерывное изображение можно полностью восстановить по дискретизированному изображению. Если это условие не выполняется, то дискретизация может сопровождаться необратимыми искажениями. При дискретизации изображений с недостаточной частотой происходит наложение спектров. Это приводит к появлению в восстановленном изображении ложных низкочастотных гармоник. Высокочастотный сигнал после дискретизации со слишком малой частотой приобретает вид низкочастотного сигнала (рис. 1.21). Здесь показаны сигнал и точки дискретизации, взятые с большим шагом. Вместо синусоидального сигнала имеем ломаную кривую. Восстановить исходное изображение невозможно. Спектр дискретизированного изображения для этого случая можно представить как

Рис. 1.21. Образование ложного низкочастотного сигнала.

где Ф/(о)_Лш_у) — спектр исходного изображения, а выражение.

описывает компоненты спектра дискретизированного изображения, которое получается при повторении исходного спектра с периодами G)^ = 2nlAx,(o_ys =2п/Ау. Если имеется наложение спектров, то получится изображение, описываемое уравнением.

где.

соответствует деталям восстановленного изображения, которые появились вследствие наложения.

На рис. 1.22 показаны изображения исходного аналогового и дискретизированного сигналов. Под изображением аналогового сигнала указаны точки, в которых берутся отсчеты. Сверху — значения, показывающие, сколько точек дискретизации приходится на один период. Значения пространственной частоты сначала увеличиваются, а затем уменьшаются. Как видно, низкочастотные компоненты, для которых на один период приходится более двух.

Рис. 1.22. Аналого-цифровое преобразование. Искажение дискретизации.

дискретизированных точек, восстанавливаются без искажений. Высокочастотные компоненты искажаются. При этом возникают ложные низкочастотные полосы.