Изгиб круглых и кольцевых осесимметрично нагруженных пластин постоянной толщины

Выведем вначале основные уравнения для расчета круглых и кольцевых симметрично нагруженных пластин постоянной толщины в условиях установившейся ползучести. При этом примем те же допущения и гипотезы, что и при упругом расчете пластин Ц02]. Кроме того, предположим, что пластина находится в условиях поперечного изгиба, т. е. интенсивность поперечной силы не равна нулю при всех значениях радиуса г.

Как следует из изложенного выше, решение любой задачи установившейся ползучести основано на использовании трех групп уравнений: уравнений равновесия, соотношений, связывающих деформации и перемещения, которые образовались в результате ползучести материала, и зависимостей между компонентами напряжений и компонентами деформаций ползучести. Поэтому для того, чтобы вывести дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластины, предварительно рассмотрим эти три группы зависимостей.

Дифференциальные уравнения равновесия элемента пластины имеют вид где г — текущий радиус; Q — интенсивность поперечных сил в окружном сечении пластины, МН/м; М_г и M_t — соответственно интенсивности радиальных и окружных моментов в окружном и радиальном сечениях, МН*м/м.

Введем безразмерные величины.

где г_х — внутренний; г₂ — наружный радиусы пластины.

Преобразуем уравнения равновесия (4.130) при помощи соотношений (4.131):

Выражения для интенсивностей моментов имеют вид.

где 2 — расстояние от срединной плоскости пластины до текущей точки сечения; h—толщина пластины.

Обозначим радиальную и окружную деформации ползучести через Е^с_г и в? соответственно, а угол поворота нормали к срединной плоскости пластины, образовавшийся в связи с ползучестью материала, — через На основании известных 11 021 зависимостей деформаций от перемещений заключаем, что.

$ти соотношения при помощи выражений (4.131) могут быть преобразованы к виду.

Если, как это обычно делается при упругом расчете пластин, пренебречь касательными напряжениями в окружных сечениях, то напряженное состояние пластины приближенно можно считать двухосным, и зависимости радиальной и окружной деформации ползучести от напряжений определяются уравнениями (4.11). Решая их относительно напряжений, получаем.

где интенсивность напряжений а₍— определяется формулой (4.93), а интенсивность деформации ползучести ej для несжимаемого материала — согласно соотношению (3.3).

Выражения (4.135) при помощи зависимостей (4.134), (3.13) и (4.136) могут быть преобразованы к виду.

Подставив соотношения (4.137) в выражения (4.133), после преобразования получим.

Из соотношений (4.137), (4.139) и (4.140) легко вывести формулы, связывающие напряжения с интенсивностями моментов:

Наибольшие напряжения могут быть получены из последних формул подстановкой в них г = hi2. Тогда.

Последние формулы дают возможность по известным интенсивностям моментов подсчитать величины наибольших напряжений.

Чтобы получить дифференциальное уравнение изогнутой поверхности симметрично нагруженной круглой пластины при установившейся ползучести, подставим интенсивности моментов по формулам (4.139) во второе уравнение равновесия (4.132). Тогда получим.

Это уравнение является основным для установившейся ползучести круглой симметрично нагруженной пластины.

Поскольку точное интегрирование уравнения (4.142) представляет значительные математические трудности, обратимся к приближенному интегрированию этого уравнения методом Бубнова — Галеркина. При этом предполагаем, что граничные условия являются однородными, т. е. одновременно и на внутреннем, и на внешнем контурах пластины угол поворота или интенсивность радиального момента равны нулю и, следовательно, при р = сс и р = 1 {К = 0или^-+^- = 0.

В этом случае использование способа Бубнова — Галеркина особенно эффективно.

Для приближенного интегрирования дифференциального уравнения (4.142) по методу Бубнова — Галеркина положим, что угол поворота нормали к срединной плоскости пластины, образовавшийся за счет ползучести материала,.

где С — некоторая функция времени; Of — функция безразмерного радиуса, удовлетворяющая граничным условиям.

При выборе функций удобно принять, что закон изменения угла Of по радиусу тот же, что и при упругом изгибе пластины.

Для определения функции времени С в соответствии с методом Бубнова — Галеркина подставим соотношение (4.143) в левую часть дифференциального уравнения (4.142), умножим ее нар и проинтегрируем в пределах изменения р = 0ч-1. Полученный результат приравняем нулю. Тогда после преобразований, используя соотношения (4.138) и (4.140) и учитывая, что граничные условия являются однородными, найдем.

Формулы (4.143)—(4.147) определяют угол поворота нормали к срединной плоскости пластины, образовавшийся в результате ползучести материала. После вычисления его могут быть найдены интенсивности моментов и напряжения по формулам (4.138) — (4.141).

Прогиб, образовавшийся в результате ползучести материала, может быть определен интегрированием зависимости, связыва;

dw^c

ющей прогиб с углом поворота 1102]: = —О^с.

Это выражение на основании соотношений (4.131) и (4.143).

представим в виде —- = —Сг_г&.

Интегрируя полученный результат по р, находим.

где С, — функция времени, определяемая из краевого условия.

С помощью формул (4.143)—(4.148) можно определить прогиб и угол поворота нормали, образовавшиеся в результате ползучести материала для любого момента времени.

Вычисление интегралов J_t и J₂ [см. формулы (4.145) и (4.146)), а также преобразование соотношения (4.148) будут приведены ниже на конкретных примерах.

Рассмотрим частные случаи. Разберем несколько примеров расчета круглых и кольцевых пластин (рис. 4.31).

Для изложенных ниже примеров на основе упругого расчета соответствующих пластин выбраны функции fly, а затем при помощи формул (4.143)—(4.148) определены величины Xi. Л> J₂, w^c и w^c_mах, которые и приведены ниже. Для четырех случаев нагружения и закрепления пластин в табл. 4.3 приведены величины JJ, подсчитанные при помощи численного интегрирования.

Рис. 4.31. Схемы нагружения и закрепления круглых и кольцевых пластин.

4.3. Значения интеграла J_x для различных случаев нагружения и закрепления круглых пластин.

для различных значений т, а на рис. 4.32 представлены графики зависимости У, от т. Случай 1. Круглая пластина, опертая по внешнему контуру, нагружена равномерно распределенным давлением р. Тогда.

Рис. 4.32. Зависимость /₁ от т для первых четырех случаев нагружения и закрепления круглых пластин, изображенных на рис. 4.31.

Случай 2. Круглая пластина, заделанная по внешнему контуру, нагружена равномерно распределенным давлением р. Тогда

Случай 3. Круглая пластина, опертая по внешнему контуру, нагружена сосредоточенной силой Р, приложенной в центре. Тогда.

Случай 4. Круглая пластина, заделанная по внешнему контуру, нагружена сосредоточенной силой Р, приложенной в центре. Тогда.

Случай 5. Кольцевая пластина, опертая по внутреннему контуру, нагружена силой Р, равномерно распределенной по внешнему контуру. Тогда.

Напомним, что здесь через а обозначено отношение внутреннего радиуса к наружному:

По выведенной формуле для J_x при помощи численного интегрирования были подсчитаны величины У₂ для различных значений т и а. Результаты подсчетов сведены в табл. 4.4. На рис. 4.33 представлены графики зависимостей от т при различных значениях а, а на рис. 4.34 — графики зависимостей J_x от а при различных значениях т.

Результаты, полученные при рассмотрении этого случая для больших значений а, например для а = 0,6 и а — 0,8, интересно сопоставить с данными приближенного решения этой задачи, в ко;

Рис. 4.33. Зависимость У, от т для кольцевой пластины, изображенной на рис. 4.31.

Рис. 4.34. Зависимость У, от, а для кольцевой пластины, изображенной на рис. 4.31.

4.4. Значения интеграла J_x для кольцевой пластины для 5-го случая.

Чтобы сопоставить этот результат с выражением для максимального прогиба, возникшего в результате ползучести материала, по теории пластин, обозначим тором используется гипотеза о том, что при деформации пластины ее осевое сечение не деформируется, а поворачивается как жесткое целое.

Решение рассматриваемой задачи на основе этой гипотезы было дано в § 25. По теории колец получаем.

Тогда по теории кольца а по теории пластин —

4.5. Сопоставление точного и приближенного расчетов кольцевой пластины.

* В числителе данные для а =0,6, в знаменателе—для, а = 0,8.

В табл. 4.5 приведены коэффициенты h и ?₂, подсчитанные для различных значений п при а = 0,6 и а = 0,8. Из рассмотрения табл. 4.5 следует, что h и ?₂ ^ПР^{И а} = 0,8 почти не различаются. При а = 0,6 различие между ними, как и следовало ожидать, несколько больше, причем с увеличением показателя степени п оно уменьшается, однако и в этом случае различие h и ?₂ весьма незначительно. Поэтому можно считать, что при а = 0,6 и выше расчеты по теории кольца и по теории пластин практически совпадают.