Хрупкое и вязкохрупкое разрушение растянутого стержня

Изложим вначале теорию хрупкого разрушения. Разрушение рассматривается как процесс возникновения и развития трещин в условиях ползучести. В простейшем варианте теории, разработанном Л. М. Качановым [37, 401, предполагается, что процесс развития трещин не влияет на деформацию ползучести.

Введем понятие сплошности ф, которое характеризует развитие трещин (поврежденность материала). В начальный момент времени при отсутствии поврежденности ф = 1. С течением времени сплошность ф убывает. Допустим, что в момент хрупкого разрушения ф = 0.

Примем следующую зависимость сплошности от максимального главного напряжения:

где А и т — постоянные для материала при определенной температуре. Отношение о/ф можно рассматривать как некоторое действительное (эффективное) напряжение. Поскольку хрупкое разрушение имеет место при малых деформациях, можно пренебречь изменением площади поперечного сечения и принять, а = P/F = PIF₀.

Разделим переменные в уравнении (6.20):

и проинтегрируем полученный результат, полагая напряжение а во времени постоянным. При этом учтем, что:

Интегрируя дифференциальное уравнение (6.21) в случае изменяющегося во времени напряжения а и учитывая условия (6.22) и (6.23), имеем

Используя соотношение (6.24), получаем.

где (<�р)⁰ — время хрупкого разрушения при растяжении стержня постоянным напряжением а.

Таким образом, так же, как и в случае вязкого разрушения, из рассмотренной выше концепции хрупкого разрушения следует принцип линейного суммирования повреждений (см. § 35).

Установим теперь время вязкохрупкого разрушения растянутого стержня. При этом учтем изменение площади поперечного сечения в процессе ползучести материала.

Тогда согласно формулам (6.16) и (6.18) при П = kt

Подставив эту величину в формулу (6.21) вместо а, получим дифференциальное уравнение для функции тр

Проинтегрируем это уравнение, принимая во внимание условия (6.22) и (6.23). Тогда, используя соотношение (6.24), получим время вязкохрупкого разрушения:

В логарифмических координатах lg t_p, lg, а (рис. 6.22) уравнения (6.18) и (6.24) описывают прямые АВ и CD. Учитывая, что прямая CD, соответствующая хрупкому разрушению, наклонена под большим углом к оси абсцисс, чем прямая А В для вязкого разрушения, заключаем, что п > т. Уравнение (6.25) в тех же координатах является уравнением кривой линии GH, асимптотически приближающейся к прямой CD. Ординату Рис. 6.22. Графики зависиточки G пересечения этой кривой с пря- ^{мостей:} мой АВ можно определить, приравни;

!б^Я247^{: С}° ~ ^{<6 J3:} °^Н ~ вая выражения (6.18) и (6.25). После преобразований с использованием соотношений (6.18) и (6.24) получаем

При напряжениях, больших величины, определяемой этой формулой, разрушение является вязким, и время разрушения подсчитывается по формуле (6.18).

Рассмотрим теперь учет влияния развития трещин на процесс ползучести. В такой постановке задача была решена Ю. Н. Работновым 1731. Он принял следующие выражения для скорости деформации ползучести и сплошности:

Заметим, что Ю. Н. Работнов ввел функцию <�о = 1 —ф, которую естественно назвать поврежденностью.

Так же, как и выше, определим время хрупкого разрушения. Положим во втором уравнении (6.26) а_д = а, разделим переменные и проинтегрируем полученный результат. Тогда найдем.

Принимая Ф = 0, устанавливаем время хрупкого разрушения.

Получим теперь уравнение кривой ползучести. Для этого обратимся к первому уравнению (6.26). Преобразуем его при помощи соотношений (6.27) и (6.28). Тогда получим.

Интегрируя это уравнение, учитывая начальное условие при 1 = 0 е^! = 0 и выражение (6.18) (при k = а), имеем.

Рис. 6.23. Кривая ползучести по уравнению (6.29).

На рис. 6.23 представлен график зависимости (6.29). Деформация для времени хрупкого разрушения е" =.

= 47″);

Определим теперь время вязкохрупкого разрушения. Для этого используем уравнения (6.26), учитывая, что действительное напряжение связано с условным соотношением [501 а_я = о (1 + е^с), а скорость логарифмической деформации |^с получаем, дифференцируя известную зависимость логарифмической деформации от обычной 150]:

В результате преобразований имеем.

Поделим первое уравнение на второе:

Проинтегрируем это уравнение, определяя постоянную интегрирования из условия: при t = 0 ф = 1, е^с = 0. Тогда после преобразований получим.

Подставим эту величину во второе дифференциальное уравнение (6.30):

Проинтегрируем это дифференциальное уравнение, используя условия (6.22) и (6.23). Тогда устанавливаем.

Естественно, что учет влияния развития трещин на процесс ползучести приводит к более громоздким результатам, чем в предыдущем случае.

В работах М. Хжановского (105, 114] использована концепция разрушения Ю. Н. Работнова и теория упрочнения в формулировках (2.7) и (2.8). Основные уравнения для простейшего случая одноосного растяжения записаны в форме.

Они использованы для решения ряда задач определения времени разрушения простейших элементов конструкций [105, 1141.