Дифференциальные уравнения. 
Теория автоматического регулирования

Наиболее часто в качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в различной форме.

Линейные многоканальные объекты обычно описывают системой дифференциальных уравнений первого порядка, представленной в векторноматричном виде:

Здесь х g Rⁿ — вектор состояния; п — порядок объекта; и g Ш^т — вектор управляющих воздействий, т < п, А — квадратная матрица коэффициентов; В — прямоугольная матрица коэффициентов. Уравнения (2.1) называются дифференциальными уравнениями состояния.

Выходные переменные объекта изменяются в соответствии с уравнением выхода

где у g R^w — вектор выхода; С — прямоугольная матрица коэффициентов. Уравнения (2.1) и (2.2) описывают линейный стационарный объект.

Для описания одноканального объекта обычно используется скалярное дифференциальное уравнение.

которое также может быть приведено к описанию типа (2.1) и (2.2) после соответствующего выбора линейно независимых переменных состояния. Их число всегда равно порядку объекта (п), а и е IR¹ и у g W.

Наиболее простое каноническое описание получается в случае, когда в качестве переменных состояния выбираются выходная переменная у и ее производные до (п — 1)-го порядка включительно:

При этом вместо уравнения (2.3) имеем систему уравнений в виде нормальной формы Коши.

которая соответствует векторно-матричным уравнениям (2.1) и (2.2). Здесь матрицы А, В и С имеют вид.

причем их размерности следующие: сйпъ4 = п’Хп> dimB = п х 1, dimC= 1 х п.

Следует отметить, что переход к описанию (2.1)—(2.2) не является однозначным: для одного объекта можно выбрать множество переменных состояния; важно, чтобы они были линейно независимыми. При этом каждой совокупности переменных состояния будут соответствовать свои матрицы объекта Л, В и С.

Пример 2.1. Записать уравнения состояния одноканального объекта, модель которого имеет вид.

Решение

1. Если в качестве переменных состояния выбрать выходную величину и ее производную, х, = у, х₂ = у_} то получим следующие канонические уравнения состояния и матрицы объекта типа (2.4):

2. Выбирая переменные состояния следующим образом: х_х=у, х₂ = у + Зу_У получим новые уравнения состояния и матрицы объекта:

В общем случае одноканальный объект может описываться дифференциальным уравнением вида.

Выбрав соответствующие переменные состояния, от описания (2.5) также можно перейти к векторно-матричным уравнениям типа (2.1)—(2.2). Рассмотрим этот переход на примере.

Пример 2.2. Записать уравнения состояния объекта с математической моделью вида

Решение

Разрешим это уравнение относительно разности:

Выберем в качестве переменных состояния х, = г/, х₂ = у — 2и и получим следующие уравнения состояния и матрицы объекта:

Таким образом, в качестве основной динамической характеристики линейных объектов управления используются дифференциальные уравнения, которые могут быть представлены в форме (2.1)—(2.2), (2.3), (2.4) или (2.5).