Прохождение волн через тонкий слой на границе раздела двух сред

Рассмотрим общий случай наклонного падения продольной волны, считая для простоты все среды жидкими, т. к. в них не происходит трансформация типов волн (рис. 4.15).

Для определения коэффициентов отражения R и прохождения D воспользуемся граничными условиями: давление и нормальные составляющие колебательных скоростей не меняются при переходе через границы слоя (здесь и далее слоем будем называть среду II).

Выражения для давления р и нормальной составляющей колебательной скорости v_H имеют вид.

где к_с — волновое число в тонком слое;

Z_c — нормальный импеданс тонкого слоя, Z_c = р_сС, / COS0.

Рис. 4.15. Прохождение продольных волн через границу двух сред, разделенных тонким слоем.

Зададим граничные условия. 1) На границе у = О.

где Z' — входной нормальный импеданс для нижней границы. В данном случае Z_c. = р_сС, / cos0;

2) на границе y = -h воспользуемся условием равенства суммарных импедансов сверху и снизу от границы:

Используя это условие, найдем значение входного импеданса для верхней границы:

В таком случае с учетом формул (4.7) и (4.8) С учетом выражения (4.9) получим.

где Z_c — нормальный импеданс слоя;

Z' — нормальный импеданс нижней среды.

Таким образом, входной импеданс первой границы зависит от нормальных импедансов II и III сред. Наличие мнимой части у Z_BX означает, что р и v_H не совпадают по фазе. Из формулы (4.10) нетрудно получить частный случай нормального падения волны. Тогда все соответствующие углы равны нулю, а их косинусы — единице. Нормальный же импеданс можно заменить характеристическим, поскольку они равны между собой. Как известно, коэффициент отражения волны от границы двух сред определяется по формуле.

где Z, Z' — нормальные импедансы сред.

По аналогии можем записать коэффициент отражения от верхней границы для сред, разделенных тонким слоем, заменив Z' на Z_BX;

где Z — нормальный импеданс среды (в случае нормального падения равен характеристическому).

Формулу (4.10) можно вывести прямым решением уравнений из условий на границе, не используя понятие входного импеданса, как это было сделано выше. Ценность рассмотренного подхода в том, что можно распространить полученный результат на произвольное число слоев. В этом случае в уравнение (4.10) вместо Z' необходимо подставить входной импеданс для нижней границы слоя. Это применимо для всех последующих слоев. Если имеется два слоя, то Z' определяется по той же формуле, что и Z_BX.

На практике возможным является использование слоев различной толщины. Проанализируем наиболее значимые сточки зрения эффективности АК соотношения.

1. Толщина слоя И равна целому числу длин полуволн Тогда справедливо

При этом коэффициент отражения определяется как

Последнее равенство означает, что при нормальном падении волны слой с толщиной, равной или кратной половине волны, не влияет на отражение и прохождение, и коэффициенты отражения и прохождения зависят только от импедансов верхней и нижней сред.

В случае наклонного падения должно выполняться условие h = rik / 2, при этом реализуется соотношение k_chcos0 = пп, что совпадает с условием возникновения нормальных волн Лэмба.

2. Если толщина слоя равна нечетному числу четвертей длин волн, т. е. h = (2n +)/А, или к_сИ = (2л + 1) л/ 2, то выражения для Z_BX и R

имеют вид Таким образом, если толщина слоя кратна четверти длины волны, то слой влияет на отражение и прохождение волн через границу. В этом случае даже малое изменение толщины тонкого слоя может привести к существенному изменению коэффициентов отражения и прохождения.