Вывод характеристического уравнения замкнутой системы из передаточных функций объекта и регулятора

Для исследования замкнутой системы на устойчивость необходимо знать математические модели — передаточные функции всех элементов САУ. Для укрупненной структурной схемы САУ — это передаточные функции объекта и регулятора. Выясним, как, используя передаточные функции объекта и регулятора, определить характеристическое уравнение замкнутой системы, через корни которого можно оценить устойчивость проектируемой САУ. Это можно сделать двумя способами.

Первый способ. Запишем передаточную функцию замкнутой САУ через передаточные функции объекта и регулятора с параллельно-встречным соединением звеньев с отрицательной ОС (см. рис. 5.6 и 6.1, в):

Используем передаточные функции объекта и регулятора, полученные при выводе характеристического уравнения замкнутой САУ (см. рис. 7.3):

Если после проведенных алгебраических преобразований знаменатель передаточной функции замкнутой САУ приравнять нулю, получим характеристическое уравнение замкнутой системы. Следует отметить, что последнее выражение есть передаточная функция замкнутой системы с возмущающим воздействием X, (см. рис. 6.2) со стороны регулирующего органа. В общем виде она будет иметь вид.

где А (р), В (р), С (р)_у 1)(р) — полиномы.

Запишем в общем виде передаточную функцию замкнутой системы с возмущающим воздействием Х₃ (см. рис. 6.2) со стороны задатчика:

Сравнив знаменатели И мСАУ (/>) и И^³_мСАУ (/>), можно сделать вывод, что характеристические уравнения замкнутых САУ с возмущающим воздействием X, со стороны регулирующего органа и возмущающим воздействием Х₃ со стороны задатчика будут одинаковыми.

Недостаток рассмотренного способа вывода характеристического уравнения замкнутой САУ состоит в том, что при алгебраических преобразованиях четырехэтажной дроби передаточной функции легко ошибиться и, следовательно, получить с ошибками после преобразований знаменатель обычной дроби. Этого недостатка лишен другой способ.

Второй способ. С помощью передаточных функций объекта и регулятора запишем передаточную функцию выбранной разомкнутой системы:

Затем суммируем знаменатель и числитель полученной обычной дроби и эту сумму приравниваем к нулю. В результате запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

или

Запишем передаточную функцию замкнутой САУ в общем виде:

Выражение B (p)D (p) + А (р)С (р) = 0 и есть характеристическое уравнение замкнутой САУ.

Однако после получения характеристического уравнения замкнутой САУ возникают новые трудности. Дело в том, что современная математика не позволяет решать в общем виде алгебраические уравнения (а характеристические уравнения замкнутой САУ — это алгебраические уравнения) выше 3-го порядка (в которых неизвестное р в третьей степени), тогда как для реальных промышленных систем, состоящих из множества элементов (см. рис. 6.1), часто требуется решение уравнений 4-го, 6-го и выше порядков. Поэтому в ТАУ разработаны косвенные методы (ТАУ является практичной инженерной теорией), позволяющие определить знаки всех корней характеристического уравнения замкнутой САУ без решения самого уравнения. Эти методы назвали критериями устойчивости.