Приведение тензора к главным осям

Симметрический тензор имеет три действительных главных значения. Примем вначале, что эти все значения различны. Каждому главному значению будет отвечать свое главное направление, определяемое собственным вектором матрицы тензора. Можно выбрать новую систему координат, оси которой будут направлены по главным направлениям тензора. Существенным является то обстоятельство, что в этой системе координат нсдиагональные компоненты тензора будут нулевыми, а отличными от нуля будут лишь компоненты, стоящие на главной диагонали. Такое представление означает, что нам удалось для данного тензора найти особую, наиболее характерную для него координатную систему, в которой его свойства проявляются в наиболее естественной форме. Такая операция называется приведением симметрического тензора к главным осям.

Для описания способов такого приведения необходимо сделать небольшой экскурс в алгебру матриц. Для квадратных матриц определено отношение подобия. Матрица В подобна матрице Д, если существует невырожденная матрица S такая, что В = S~^l AS.

⁷Это замечание связано с требованием инвариантности данного соотношения при его представлении в других координатных системах.

Преобразование А => В называется преобразованием подобия (или просто подобием), осуществляемым посредством трансформирующей матрицы S. Подобие разбивает множество всех квадратных матриц одного порядка на классы эквивалентности. Матрицы из одного класса обладают многими одинаковыми важными свойствами: у подобных матриц одинаковые следы, определители, характеристические многочлены и собственные значения. Так как диагональные матрицы обладают многими свойствами, удобными в работе, то имеет смысл выяснить: существует ли в классе матриц, подобных данной, диагональная? Если такая матрица существует для данной матрицы А, то матрица А называется диагопализируемой (или диагоиализуемой). Условия возможности диагоиализации и способ ее осуществления даются следующей теоремой о подобии: квадратная матрица, А порядка п диагонализируема тогда и только тогда, когда существует система п линейно независимых векторов, каждый из которых является собственным вектором матрицы А. Преобразование подобия осуществляет матрица V, столбцами которой являются правые собственные вектора матрицы А. Диагональными компонентами преобразованной матрицы будут собственные числа матрицы А .

Этой теоремой по существу определяется и алгоритм диагонализации, состоящий в следующих шагах: найти собственные значения матрицы А; найти собственные вектора матрицы А и убедиться, что они являются линейно независимыми; построить матрицу R, столбцы которой есть правые собственные вектора, и обратную ей матрицу R~^l; перемножить матрицы в указанном порядке и выполнить диагонализацию.

Если при построении собственных векторов симметрической матрицы Vv = Xv выполнено их нормирование v = 1|, то матрица V, столбцами которой являются собственнные вектора V = (VV-2V3), будет ортогональной V^-1 = V¹.

Запишем теперь преобразование подобия для матрицы тензора V, выбрав в качестве преобразующей матрицу из ее собственных векторов:

Преобразование (1.25) можно рассматривать как прсобразование тензора V в новую систему координат V = WVW^T, которое осуществляется ортогональной матрицей преобразования координат W = V^T. В новой системе тензор имеет диагональную форму V' = = Л, диагональные элементы Ль А₂ и Аз называются главными значениями тензора.

Оси новой системы координат главные оси тензора V будут определяться векторами пь Пг и П], проекции которых на оси старой системы координат являются столбцами матрицы W: W = = (щ)п₂п 3.

Таким образом, для приведения симметрического тензора к главным осям необходимо выполнить следующие операции: определить собственные числа Ai и собственные вектора V = {vV-2V^) матрицы тензора V, решив задачу алгебры матриц: Vv = Xv; переход к главной системе координат будет осуществляться матрицей вращения W, сопряженной к матрице собственных векторов W = V^T; главными значениями тензора будут собственные числа его матрицы Аь А₂ и Аз. Этими шагами осуществляется решение задачи о приведении тензора к главным осям.

Если среди собственных чисел будут два одинаковых, отвечающие им собственные вектора уже не будут линейно независимыми. В этом случае лишь одно одно главное направление будет характеризовать тензор. В качестве двух других главных осей можно принять любые две ортогональные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной первой главной оси тензора. Этот случай отвечает осевой симметрии свойств тензорного объекта.

При трех одинаковых собственных значениях тензор в любой системе координат является шаровым и любое направление является главным. Это случай центральной симметрии свойств тензорного объекта.

Тензорный эллипсоид. Для симметричного тензора можно дать интересную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим соотношение г^Т'Рг = 1, г = (ад Х2 #з)^т> в котором компоненты тензора определяются в точке пространства, соответствующей началу радиуса-вектора г. В развернутом виде левая часть запишется в виде квадратичной формы:

рцх* + Р22Х% + Рззх?! + 2р₁₂х₁х₂ + 2р₂₃Х2Хз + 2p_3LX₃Xl = 1. (1.26).

коэффициенты которой ассоциированы с матрицей симметрического тензора V.

Выражение (1.26) онисываег поверхность второго порядка, не зависящую от выбора СК, гак как при переходе в другую систему коэффициенты квадратичной формы изменяются так, что обеспечивается инвариантность поверхности. Это легко показать, если мы в матричное произведение, описывающее поверхность r^TVr = 1, вставим единичные матрицы ? = W^TW. В полученном выражении г¹ (W^TW)V (W^TW)r = 1 расставим скобки так, чтобы были образованы векторые и тензорные объекты в новой системе координат (r^TW^T)(WVW^T)(Wr) = 1. Отсюда следует, что поверхность определяется уравнением г' V’r' = 1, в котором матрица квадратичной формы получена из исходной преобразованием вращения V* = WV^T.

Если все собственные числа матрицы тензора V положительны (матрица квадратичной формы положительно определена), то поверхность (1.26) является эллипсоидом. Точки пересечения координатных осей с поверхностью определяются соотношениями х*_а = = ±1/ у/Раа • Говорят об этом эллипсоиде как эллипсоиде, ассоциированном с симметрическим афинным ортогональным тензором второго ранга. В случае знакопеременных собственных чисел будем иметь поверхность гиперболоида.

В главной системе координат уравнение эллипсоида примет канонический вид:

откуда видно, что эллипсоид ориентирован по главным осям тензора, а его полуоси выражаются через главные значения тензора 1_а =

= 1/7*1;

Так как всякий радиус, исходящий из начала координат в направлении п, можно принять за ось новой СК, то он пересекает поверхность на расстоянии р (п) = 1/Jn^TVn. Таким образом может быть определено векторное уравнение поверхности г = р (п)п.

Тензорный эллипсоид (или гиперболоид для случая знакопеременных главных значений) дает наглядное представление о тензорном объекте, направлении его главных осей и порядке величины его главных значений.