Примеры решения задач

Задача 8.1. Простая астрономии Солнечной системы. Физические формулы обладают замечательным свойством. Иногда с их помощью можно сделать то, что невозможно сделать даже при помощи точных измерительных приборов.

Покажем, как можно, используя закон всемирного тяготения, определить: массу Земли, радиус орбиты Луны, скорость Луны на орбите, угловой диаметр Луны, радиус Луны, расстояние от Земли до Солнца, радиус Солнца, массу Солнца и орбитальную скорость Земли.

Решение. Радиус Земли можно найти с помощью геометрических измерений на её поверхности. Современное значение радиуса Земли /г_с = 6,38 10^ft i .

Найдем массу Земли. Каждое тело массой т притягивается к Земле с силой.

где М₃ — масса Земли, a R — расстояние от тела до центра Земли. С другой стороны, отношение силы к массе — это ускорение свободного падения g:

Из этого уравнения следует, что g не зависит от массы и размеров тела и определяется исключительно параметрами Земли и расстоянием до неё. Вблизи поверхности земли R «R₃ и g = 9,81 м/с². Исходя из этого находим массу Земли:

Найдем радиус орбиты Луны. Период обращения Луны вокруг Земли равен О_ё =27,32 по6 = 2,36−10⁶ п. Центростремительное ускоре- (2_п V.

ние Луны а_Ё =co|/?_ie = -т- /?_!е должно быть равно ускорению сво;

у бодного падения на орбите Луны. Приравняв g и а_я, получим выражение для нахождения радиуса орбиты Луны:

Найдем скорость Луны на орбите. Скорость находим по формуле.

Найдем угловой диметр Луны. Большой палец, толщина которого примерно равна d «0,01 м, закрывает диск Луны при вытянутой руке.

(/ = 1 м). Из этого получаем ф * sin (р = </// = 10^-2 рад * 0,57°. Болес точные измерения дают для углового диаметра <�р = 0,518° = 0,009 рад.

Найдем радиус Луны. Радиус Луны находим, используя точное значение углового диаметра Луны:

Найдем расстояние от Земли до Солнца. Расстояние найдем с помощью геометрии (см. рис.), используя расстояние от Земли до Луны. Когда луна находится в первой четверти, направления от неё в сторону Земли и в сторону Солнца составляют прямой угол. Угол Р между направлениями с Земли на Луну и Солнце близок к прямому (р = 89°5Г). Для расчета расстояния от Земли до Солнца используем угол, а = я/2 — р = 0,15°:

Более точно это расстояние (астрономическая единица) равно 1,496- 10^пм = 149,6 млн км.

Найдем скорость Земли на орбите. Период обращения Земли вокруг Солнца равен Т₃ = 1 год = 3,156 10 с. Скорость Земли:

Найдем радиус Солнца. Угловой диаметр Солнца приблизительно равен угловому диаметру Луны: ср = 9,31 • 10~³рад. Радиус Солнца:

Найдем массу Солнца, используя закон всемирного тяготения.

о² 4л²/_с

Центростремительное ускорение Земли на орбите а^ = —^= ₂

'с 'с должно быть равно ускорению свободного падения Земли на Солнце g_c = ^ —^с-. Приравняв аз и gc, получим:

Задача 8.2. Рассчитать третью космическую скорость — скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно навсегда покинуло пределы солнечной системы. Найти оптимальное значение скорости.

Решение. Чтобы преодолеть силу притяжения Солнца, объекту, находящемуся на орбите Земли, надо придать скорость о_кр. Эта скорость определяется из равенства кинетической энергии объекта изменению его потенциальной энергии в поле Солнца при удалении на бесконечно большое расстояние (8.5.5):

где Мс — масса Солнца; Lq — радиус земной орбиты. Отсюда.

Jto минимальная скорость, которую надо придать неподвижному телу, находящемуся на земной орбите. Так как Земля движется вокруг Солнца с линейной скоростью щ = 29,8 км/с, то ракету целесообразно запускать в направлении движения Земли вокруг Солнца. Рассчитаем третью космическую скорость при оптимальном запуске, исходя из энергетических соображений. Подсчет третьей космической скорости аналогичен вычислению второй космической скорости, но с дополнительным условием — тело на большом расстоянии от Земли все еще должно иметь скорость относительно Земли о™:

Выразим потенциальную энергию через вторую космическую скорость и отсюда найдем третью космическую скорость:

тогда.

Ответ: и₃ = 16,6−10' м/с.

Задача* 8.3. Оцепить вклад Лупы в ускорение свободного падения. В каждые лунные сутки наблюдаются два прилива и два отлива. В течение примерно шести часов в открытых морях происходит подъем уровня воды, вода надвигается на берег — это прилив. Затем наступает отлив, который длится тоже 6 часов. Причина этого явления в том, что Луна и Солнце вносят вклад в ускорение свободного падения — вектор g зависит от взаимного расположения Луны, Солнца и точки наблюдения.

Решение. В точке а, наиболее близкой к Луне, вектор Ag. направлен к Луне (см. рис.). Величина ускорения свободного падения g_h = g₀ -2Gmf R/r^. На противоположной стороне земного шара в точке с вектор Ag направлен от Луны. Поэтому величина ускорения свободного падения g_c = g_a: неожиданный результат — и здесь сила притяжения уменьшается. На средней линии в точках b и к величина ускорения свободного падения возрастает:

Оценим вклад Луны в ускорение свободного падения. Масса Луны т_л=т₃/ 81,3, среднее расстояние от Земли до Луны г_с = 384 400 ei =60,34R.

Величина приращения ускорения свободного падения обусловлено влиянием Луны, Ag/g₀ «(т$_://w_c)(/?/r_fi)³ = 5,33• 10 Ничтожное различие в силе линии в точках />, к уровень понижает. В результате суточного вращения Земли вокруг своей оси двугорбая водяная поверхность перемещается. Это и есть приливы.

Задача* 8.4. Гравилет. Два шара массами т = m2 = ml2, прикрепленные к концам стержня пренебрежимо малой массы, образуют гантель. Расстояние между центрами шаров — /. Найдем силу, действующую на гантель в поле тяжести Земли. Расстояние от центра Земли до середины гантели — г.

Очевидно сила, действующая на гантель, зависит от ориентации гантели относительно Земли. Пусть ось гантели перпендикулярна плоскости орбиты, по которой движется центр масс (см. рис.). Величины сил, действующих на массы т и /гь, одинаковы и равны:

ill.

Равнодействующая сила F = F, + F, направлена по прямой, прохоляшей чепез пентп Земли и пентп масс гантели, величина силы.

Пусть / << г, т. с. гантель является почти материальной точкой массой т. Используя разложение бинома Ньютона (1 + г)^п «1 + пе,? «1, получим.

Второе слагаемое можно рассматривать как силу f, возмущающую Кеплерово движение тела массой т

где г — радиус-вектор центра масс тела.

Итак, величина силы притяжения, действующей на гантель (1), меньше величины силы притяжения, действующей на точечное тело той же массы. Это обстоятельство позволило предсказать новый эффект — в результате периодического изменения распределения массы внутри космического корабля появляется возможность целенаправленно изменять параметры Кеплерова эллипса.

Пусть длина гантели представляет собой периодическую функцию. В течение каждого периода Т:

В интервале времени, когда выполняется условие /ц > 0, длина гантели должна быть равна нулю. В течение остальной части периода, когда fi) < О, длина гантели должна быть максимальной. В результате работы внутренних сил полная энергия гантели Е возрастает. Значению Е = 0 соответствует вторая космическая скорость. Появляется возможность, подобно барону Мюнхаузену, вытащившему себя за волосы из болота, покинуть сферу действия Земли. Этот эффект возможен только в неоднородном поле тяготения.

Задача 8.5. Космический лифт. Предположим, что на экваторе возведена конструкция, в которой действует лифт. Найдем высоту, на которой скорость груза массой т станет равной местным первой и второй космическим скоростям.

На груз действует сила натяжения каната N, сила тяжести и центробежная сила инерции. Если груз находится на расстоянии г от центра Земли, то N = mg (Rlr)² — mw²r или N = шео² (rjj. /г² — г), где со — угловая скорость вращения Земли, = [g/?²/со²} ³ — величина, равная радиусу орбиты геостационарного спутника (г_ст =6,7 R = 42 164 км). Если г < /-_ст, то для подъема с постоянной скоростью к грузу необходимо приложить силу величиной N = mg (RIг)² — wcoV, направленную вертикально верх. Величина скорости груза в инерциальной системе отсчета и = сог. На расстоянии г_ст от центра Земли N = 0: груз приобретает скорость >_CT = сог_ст равной местной первой космической скорости. Если его не удерживать, то он будет неподвижен относительно лифта. При подъеме груза на расстояние г = г_ст центробежная сила становится больше силы притяжения — груз необходима удерживать. Из закона сохранения полной энергии найдем величину расстояния г₂, на котором груз приобретает местную вторую космическую скорость: т ((ог₂)²12- mgR~ / г₂ = 0 + 0, г, = 2^l'³r_hb,.

г₂ =53 123 ei; если его освободить, то он навсегда покинет Землю. Вот еще одна возможность запусков космических аппаратов.

Энтузиастом этой идеи выступает известный писатель-фантаст Артур Кларк. Сейчас он проживает на Цейлоне и уже нашел там место для привязки лифта. Конструкцию для лифта надо строить с крыши. Со стационарного спутника выпускают два троса — вверх и вниз. Затем подбирают их длину так, чтобы вся система вращалась как целое с угловой скоростью со в процессе увеличения длины тросов. После зацепления нижнего конца за Землю можно заняться устройством лифта. Основная трудность — отсутствие материала необходимой прочности.