Тензор напряжений для линейной вязкопластической среды

Тензор напряжений можно построить, обобщая, как и ранее, на пространственный случай реологические соотношения, установленные для простейшего сдвигового теченния. Это обобщение строится на основе соответствия корня квадратного из второго инварианта тензора скоростей деформации и скорости сдвига в однородном сдвиговом течении. Так, для жидкости Шведова — Бингами определим кажущуюся вязкость как.

Заменяя теперь скорость сдвига на инвариант тензора скоростей деформации, получим обобщенное на случай произвольной картины деформирования среды выражение для скалярной функции кажущейся вязкости:

Заменяя теперь физическую вязкость на кажущуюся, получим обобщенный закон Пыотона для линейной вязкопластичной среды:

Здесь, как и ранее, тензорный инвариант определяется зависимостью (4.34).

Этим же методом может быть построена тензорная форма реологического закона, обобщающего и другие реологические соотношения, установленные для простого сдвига.

Жидкость Рейнера и Ривлина. Построенные описанным образом модели обобщают линейную модель Ньютона. Нелинейность вводится в нее с помощью кажущейся вязкости, представленной как функция второго инварианта тензора скоростей деформации, а объемная вязкость, действие которой связано с третьим инвариантом, не учитывается. В общем случае нелинейной связи между напряженным и деформированным состояниями можно записать функциональную зависимость.

Принцип объективности поведения материала и независимости представленного соотношения от выбора координатной системы требует, чтобы входящая в это тензорное соотношение функция обладала свойством Wf{e)W^T = f (WiW^T), где W — любая ортогональная матрица (матрица вращения). Симметрические тензорные функции, удовлетворяющие этому свойству, называются изотропными.

Можно показать, что такому свойству удовлетворяют функции вида.

Здесь Фо, ф и 0з — скалярные функции трех главных инвариантов симметрического тензора скоростей деформации. Подставив это соотношение в (4.44), получим реологическое уравнение.

Здесь опущен как несущественный для определения избыточных напряжений член с единичным тензором и исключен из рассмотрения первый инвариант тензора деформации, равный нулю для несжимаемых сред. Жидкость, реология которой описывается уравнением вида (4.45), называется жидкостью Рейнера — Ривлииа. Отметим, что для этой жидкости напряжения в некоторой точке в данный момент времени полностью определяются компонентами тензора скоростей деформации, определенными в той же самой точке и в тот же момент времени. Деформация в других точках или в другие моменты времени не влияет на текущее состояние рассматриваемой точки. Таким образом, жидкость Рейнера — Ривлина чисто-вязкая.

Простой моделью такого вида является реологическая модель с двумя константами, в которой присутствует объемная вязкость pi:

Обобщенные тензорные формы реологических уравнений становятся все более и более востребованными в связи с развитием вычислительных методов решения задач механики сплошной среды.

Наиболее простое расширение рассмотренных зависимостей — учет упругих напряжений в вязкой среде в рамках гипотезы об аддитивности их действия. Можно полагать, что напряжения в сложных средах могут быть представлены в виде суммы вязких и упругих составляющих: вязкая определяется тензором скоростей деформаций, а упругая зависит от деформации среды.