Математические модели в науке как средство работы с информацией

Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует — тому нс опасен обман чувств.

Леонард Эйлер

Изучив материал главы 3, студенты должны:

знать

• • предмет, цели и задачи математического моделирования, его особенности;
• • особенности и отличительные признаки функций, уравнений, неравенств как математических моделей;

уметь

• • анализировать и интерпретировать информацию, представленную в виде функции, уравнения, неравенства;
• • решать задачи, связанные с исследованием функции как математической модели реальной ситуации;
• • выбирать необходимые методы построения и исследования математических моделей для реализации поставленных задач;

владеть

• • методами построения и исследования математических моделей для реализации поставленных задач;
• • навыками работы с математическими моделями, сконструированными в процессе исследования реальных ситуаций.

Математическое моделирование

Моделирование — общенаучное понятие, имеющее философский смысл.

Моделирование — это процесс создания, разработки моделей и их применения для познания новых свойств, новых качеств, новых адекватных по структуре или функциям объектов в определенной сфере деятельности человека.

В основе общепринятой классификации научных моделей лежит понимание модели как средства отображения, воспроизведения той или иной части действительности с целью ее более глубокого познания.

Отношение между моделью и оригиналом (отношение отображения или воспроизведения) варьируется в зависимости от способа воспроизведения, т. е. от тех средств, при помощи которых строится модель, либо от характера тех объектов, которые воспроизводятся в модели.

Классификация моделей представлена на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Классификация моделей.

Материальные, или вещественные, реальные модели — конкретные модели, представляющие собой некоторые материальные объекты или совокупности объектов, отражающие в той или иной мере свойства объекта моделирования. Они воплощены в материальных предметах, изготовленных из различных материалов. Сюда же относят так называемые живые модели, которые отобраны человеком в силу присущих им свойств, позволяющих в упрощенной форме имитировать изучаемый сложный процесс (например, специально выведенные породы крыс для физиологических опытов).

Среди этих моделей выделяют:

• • пространственно подобные модели — объекты, геометрически подобные своему прототипу;
• • физически подобные модели — модели, отражающие подобие происходящих в них и в объекте-прототипе основных физических процессов, сходство физической природы и тождественность законов движения;
• • математически подобные модели — материальные системы, не обладающие с объектом-прототипом одной и той же физической природой и не сохраняющие с ним физического или геометрического подобия, в которых происходят иные, чем в оригинале, физические процессы. Здесь отношением между моделью и реальным объектом выступает аналогия. Эта аналогия может быть структурной и функциональной. Те и другие могут быть описаны одинаковыми или подобными математическими выражениями.

Идеальные, или абстрактные, концептуальные модели подразделяются следующим образом:

• • образные модели представляют собой образы каких-либо реальных, хорошо известных явлений, доступных непосредственному наблюдению, некоторые свойства и отношения моделируемых явлений представлены в этих моделях в форме, доступной чувственности, образные модели являются наглядными образами элементов, структуры и поведения объектов, они часто фиксируются в виде рисунка, чертежа, схемы;
• • знаковые модели — такие, в которых отношения и свойства моделируемых явлений выражены при помощи определенных знаков; главная особенность таких моделей — полное и принципиальное отсутствие сходства между элементами модели и реального объекта; знаковая модель не обладает наглядностью в смысле сходства;
• • образно-знаковые модели — сочетание образной и знаковой моделей, занимающее промежуточное между ними положение.

Особое место занимают математическое моделирование и математическая модель.

Некоторые ученые отмечают, что вся математика вообще может быть сведена к двум типам деятельности: моделированию и систематизации.

По мнению крупнейших математиков, предметом математики являются модели.

«Математика — область человеческой деятельности (человеческого знания), в которой изучаются математические модели, т. е. логические структуры, у которых описан ряд отношений между элементами структуры» (Л. Д. Кудрявцев).

«Математика — наука о схемах моделей окружающего мира. Примером схем моделей служат математические понятия» (М. М. Постников).

Итак, поговорим о моделировании.

Можно сформулировать следующее, очень общее определение модели.

Модель — это такой материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

Точного определения понятия математической модели не существует. Можно предложить описание характеристик математической модели (несколько десятков), весьма отличающихся друг от друга.

Приведем некоторые из них.

Математическая модель — совокупность уравнений, неравенств, ограничений, математических формул, определяющих выходные свойства объекта в зависимости от входных свойств, параметров и начальных условий.

Математическая модель — математическая структура, объекты которой трактуются как реальные «вещи» (понятия), а абстрактные отношения между ними — как конкретные связи между отношениями действительности. При математическом моделировании сущность явлений выражается в знаках.

Математическая модель — приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженного с помощью математической символики.

Математическая модель — система объектов или знаков, воспроизводящая некоторые существенные свойства системы-оригинала.

Иногда трудно определить, какая из двух сущностей является вещыо, а какая — ее моделью (например, график функции и ее уравнение). При осуществлении выбора следует исходить из прагматических соображений: модель — это то, с чем проще работать, т. е. легче увидеть, запомнить, передать, записать, исследовать…

Математическое моделирование предполагает построение действующей математической модели, которая обладает характеристиками или свойствами рассматриваемого объекта.

Результатом исследования этой модели оказывается прогнозирование поведения реального объекта.

Математическая модель глубже вскрывает внутренние связи объекта, дает его точные количественные характеристики.

Математическая модель занимает особое место среди моделей, используемых в науке, так как является формальной конструкцией, такие модели позволяют выделить «в чистом виде» логическую структуру научной теории и количественные отношения между существенными переменными изучаемых явлений. Это позволяет проверить логическую состоятельность содержательной теории, исследовать ее структуру и построить на ее основе количественно определяющие утверждения относительно связи между фактами, а следовательно, создается возможность для экспериментальной проверки теории и ее практического использования. Таким образом, математическое моделирование — один из наиболее экономичных, точных и эффективных методов теоретического анализа, обобщающего формулирования и экспериментально контролируемого описания объективных свойств и отношений реальности.

Математическое моделирование используется:

• • для численного экспериментирования или численного оценивания в условиях, когда проведение реального эксперимента связано с большими затратами;
• • ознакомления с новыми объектами, их изучения и преобразования;
• • проверки или демонстрации повой идеи или метода;
• • как средство планирования и прогнозирования.

Когда в школе начинают изучать геометрию (планиметрию), школьники знакомятся с геометрией Евклида — моделью окружающего мира, в которой все объекты состоят из простейших геометрических фигур: точек, прямых или их частей и плоскостей или их частей.

Можно сформулировать некоторые требования к модели.

С одной стороны, модель должна быть достаточно полной, г. е. в ней должны быть учтены все факторы, от которых существенно зависит поведение исследуемого объекта.

С другой стороны, модель должна быть достаточно простой, чтобы возможно было установление зависимости между параметрами, входящими в нес.

В зависимости от математических понятий и методов, которые используются для моделирования изучаемых явлений реальности, математические модели подразделяются следующим образом:

• • функциональные;
• • стохастические (вероятностные);
• • алгоритмические;
• • логико-математические;
• • информационные;
• • топологические.

Количество математических понятий, которое приходится использовать для описания модели некоторого явления, может служить мерой сложности этого явления.

Целью моделирования как математической деятельности является выделение комплекса свойств, присущих данному объекту или явлению, и описание их средствами математики.

Часто модель описывается с помощью уравнений или неравенств. В результате изучения этих моделей часто возникают другие математические структуры.

Пример 3.1.

Система линейных уравнений.

может рассматриваться как математическая модель точки пересечения графиков двух линейных функций (прямых) на плоскости, или линии пересечения двух плоскостей, параллельных оси OZ в пространстве, или, в экономике, являться моделью следующей ситуации: «Предприятие выпускает два вида продукции, используя сырье двух типов. Необходимые характеристики производства указаны в таблице (которая тоже является математической моделью данной ситуации):^[1][2]

В результате решения системы уравнений получаем ответ на вопрос: каков объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья?".

Графическая интерпретация системы уравнений приводит к возможности графического решения системы и интерпретации экономической ситуации.

• 1) определить объем (площадь) жилых (служебных) помещений в этом доме;
• 2) определить количество краски, которое потребуется для окраски стен всех лестничных площадок;
• 3) определить, можно ли построить такой же дом на соседнем пустыре, если известны размеры пустыря (пренебрегая особенностями грунта).

Заметим, что в первом случае существенными характеристиками объекта будут размеры квартир в этом доме. При этом предполагаем, что все квартиры, одинаково расположенные, имеют одни и те же размеры. Однако, пренебрегая возможными отклонениями в размерах квартир одного типа, мы уже закладываем погрешность результата.

Во втором случае существенными характеристиками будут размеры лестничных клеток, а в третьем случае — размеры основания жилого дома.

Некоторая фирма работает на рынке кондитерских изделий и занимается изготов;

k³

лснисм пирожных. Функция издержек выпечки пирожных имеет вид F (k) = — + 4&²,.

Решение.

1 этап. Формализация.

Запишем выражение для функции прибыли в нашем случае:

Поскольку количество изготавливаемых пирожных не может быть отрицательным и ограничено производственными мощностями фирмы, то задача сводится к исследованию построенной функции на экстремум (максимум) на отрезке [0; 18].

2 этап. Математизация.

Найдем производную данной функции: Р'(к) = 240 — к² — 8к.

Найдем нули производной. Для этого решим уравнение 240 — к² — 8к = 0, или к² + 8к- 240 = 0.

Решениями данного уравнения являются числа -20 и 12, первое из которых не удовлетворяет условию задачи. Теперь осталось убедиться в том, что в точке k = 12 находится максимум данной функции. Для этого можно использовать разные способы.

1. Первый способ — просто посчитать значения функции на концах отрезка и в найденной стационарной точке:

Очевидно, что полученная точка действительно является точкой максимума.

• 2. Второй способ. Для определения того факта, что найденная точка на самом деле является точкой максимума, можно воспользоваться следующими соображениями. На отрезке [0; 18] функция имеет единственную стационарную точку. Квадратичная функция Р'(к) = 240 -к²— 8k, имея отрицательный коэффициент при старшем члене, при переходе через свой правый корень меняет знак с «плюса» на «минус» (слева направо). Таким образом, справа от точки к = 12 производная имеет знак «плюс», значит, функция возрастает, а слева от этой точки производная имеет знак «минус» и функция убывает. Таким образом, точка к = 12 является единственной точкой экстремума на рассматриваемом отрезке, и она точка максимума. Значит в этой точке функция имеет наибольшее значение на данном отрезке.
• 3 этап. Интерпретация.

Фирме следует изготавливать 12 тыс. шт. пирожных ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль.

Пример 3.4^[3]

2 этап. Математизация.

Исследуем полученную функцию на наибольшее значение. Поскольку функция квадратичная с отрицательным старшим коэффициентом, то наибольшего своего зна16 600.

чения она достигает при.

= 83. При этом значении Р (83) = 688 900.

3 этап. Интерпретация.

Владельцу фирмы следует нанять 83 работника, которые за неделю будут производить 688 900 ед. продукции.

• [1] Выделяется несколько этапов математического моделирования.
• [2] Постановка задачи, определение целей моделирования (исследовательской задачи, решение которой и должно быть получено посредствомиспользования модели). Примеры формулирования целей: получение сведений об устройстве конкретного объекта, его структуре, свойствах, законах развития и взаимодействия; управление объектом; прогнозированиевоздействия на объект. 2. Ранжирование свойств объекта — разделение его свойств по степениважности и влияния. Создание (выбор) модели. 3. Исследование модели (опосредованное изучение моделируемогообъекта). 4. Сопоставление полученных данных с данными об оригинале. 5. Перенос знания (правила перевода высказываний о модели в высказывания об оригинале). Здесь возможно появление ошибок. Пример 3.2 Рассмотрим следующую постановку задачи: изучить многоквартирный жилой дом. Таким образом сформулированная цель не позволяет определить ничего, посколькуизучение объекта (в данном случае жилого дома) может проходить по нескольким, принципиально различным друг от друга направлениям. Например:
• [3] этап. Формализация. Поскольку в данной задаче все издержки фирмы определяются только затратами на оплату труда рабочих, то общие издержки будут определяться формулойS (k) = 200&. Выражение для функции прибыли будет иметь вид