Классификация мгновенных движений твердого тела. 
Уравнение винтовой оси

Под мгновенным движением твердого тела понимается распределение скоростей точек твердого тела в данный момент времени. Справедлива формула Эйлера Va,=V_c+ [Q, R]. Умножим это равенство скалярно на П и получим V^Q = V_CQ, т. е. скалярное произведение скорости произвольной точки М твердого тела и его угловой скорости не зависит от выбора точки М. Величины П, V_CQ являются инвариантами данного распределения скоростей точек твердого тела в том смысле, что они не зависят от выбора полюса С. Классификация мгновенных движений твердого тела базируется на этих инвариантах и приведена в таблице.

В случае мгновенного покоя скорости всех точек твердого тела в данный момент времени равны нулю. Мгновенно-поступательное движение характеризуется тем, что все точки твердого тела в данный момент времени имеют одну и ту же скорость. В третьем и четвертом случаях поставим задачу об отыскании в теле таких точек, скорости которых параллельны вектору угловой скорости П. Это означает, что v_M=v_c+ [fl, R| = xfl, x e Л¹. Умножим полученное равенство векторно на П и найдем — [О, V_c] = [О, [П, R]| = = П (П, R) — Rn². Отсюда.

Легко понять, что точки твердого тела, скорости которых параллельны вектору П, заполняют в теле прямую.

Если У_СП = 0 (мгновенно-поступательное движение), то скорости этих точек равны нулю и прямая (5.1) называется осью мгновенного вращения. В противном случае, когда V_cn * 0, тело совершает мгновенно-винтовое движение и прямая (5.1) называется винтовой осью.

В подвижной системе координат Сх, XjXj уравнение винтовой оси примет вид