Движение планет. 
Вывод закона всемирного тяготения из законов кеплера

Многолетние результаты наблюдений за движением планет Солнечной системы, полученные датским астрономом Тихо Браге, были проанализированы Иоганном Кеплером, который сформулировал три закона движения планет. И. Кеплер рассматривал планеты как материальные точки.

Первый закон. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

В полярной системе координат (г, ф), полюс которой совпадает с Солнцем, траектория планеты представляется в виде.

где р — параметр орбиты, е — эксцентриситет, ф₀ — долгота перигелия.

Втрой закон. Площади, описываемые радиусом-вектором планеты относительно Солнца, пропорциональны времени движения планеты.

Второй закон постулирует справедливость закона площадей г²ф = с.

Третий закон. Для планет, движущихся по эллипсам, квадраты времен их обращения пропорциональны кубам больших полуосей эллипсов.

Отношение Т²/а* одинаково для всех планет Солнечной системы, где Т — период обращения планеты, а — большая полуось ее эллиптической орбиты.

Найдем силу, под действием которой движутся планеты Солнечной системы. Эту задачу решил И. Ньютон после того, как им была предложена модель механической системы.

Система координат Sxyz, начало которой совпадает с Солнцем, а оси направлены на неподвижные звезды, считается инерциальной. Пусть ось Sz ортогональна плоскости орбиты какой-нибудь планеты, а г, ф — полярные координаты планеты в плоскости орбиты. Согласно второму закону динамики

Поскольку z = 0, то F_t = 0. Из второго закона Кеплера, вычисляя производную по времени, найдем г²ф + 2тр = 0. Сравнивая полученное выражение с третьим уравнением (7.1), получим F_v = 0. Следовательно, сила F = F_rt_r — центральная сила. Для определения ее величины воспользуемся второй формулой Бине. В рассматриваемом случае.

Получим ряд соотношений для эллиптической траектории (рис. 19). Имеем.

Здесь г_р = |57^>|, r_A = SA— расстояния от Солнца до перигелия Р и афелия А соответственно, а — большая полуось эллипса. Далее.

OS = аг_р = аа (1 -е) = ае,

где О — центр эллипса. Пусть F — второй фокус эллипса. Если М— произвольная точка эллипса, то lA/iSI + MF = 2а. Малая полуось эллипса Ь = ОК определяется из треугольника OKS по теореме Пифагора b² = a²- aV = ар. Секторная скорость равна паЬТ~* = с/2, где с — постоянная интеграла площадей, Т — период обращения планеты, nab — площадь эллипса. Отсюда.

Отношение а³/7'² постоянно для всех планет Солнечной системы по третьему закону Кеплера, и, следовательно, постоянная ц в формуле (7.2) есть характеристика силового поля, описывающего взаимодействие Солнца и планет Солнечной системы. Силовое поле (7.2) консервативно и его силовая функция.

Таким образом. Солнце притягивает все планеты, и сила притяжения прямо пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату расстояния от Солнца до планеты.

Естественно предположить, что все материальные точки (тела достаточно малых размеров по сравнению с расстоянием между ними) притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения.

где т, т₂ — массы материальных точек, г — расстояние между ними, у —гравитационная постоянная. Зависимость (7.5) была экспериментально проверена с высокой степенью точности и тем самым было установлено фундаментальное свойство материи — гравитационное взаимодействие материальных объектов. Постоянные /n_|t т₂ в законе всемирного тяготения называются гравитационными массами, а постоянная во втором законе механики ту/ = F называется инертной массой. Многочисленные эксперименты, в частности законы Кеплера и законы падения тел на Землю, показали, что эти две характеристики материи совпадают, т. е. инертная масса равна гравитационной. Гравитационная постоянная у = 6,669- 10″ ^м н-м²кг~².