Скобки пуассона и их свойства. 
Теорема пуассона

При вычислении производной функции в силу канонических уравнений Гамильтона полезным является понятие скобки Пуассона.

0.15.1. Скобкой Пуассона двух функций /(р, q, /), g (p, q, /) называется выражение.

Отметим ряд свойств скобок Пуассона:

• а) (A, g) = ~(g, f) — кососимметричность,
• б) (А/, g) = (A Xg) = A.(A g) — билинейность;
• в) (А1+/2. g) = (Ai.?) + (A,"):

Я) (А, (А. /з)) + (А. (Аз. /|)) + (Аз, (А|, А)) = о для любых дважды дифференцируемых функций /|, А"Л ~ тождество Якоби.

Доказательства свойств а) — г) очевидны. Покажем справедливость свойства д) Пусть.

— линейные дифференциальные операторы первого порядка, используя которые представим левую часть тождества Якоби одним из выражений.

0.15.2. Дифференциальный оператор С-Ф₂Ф₃ — Ф₃Ф₂ называется коммутатором двух линейных дифференциальных операторов.

Л. Коммутатор С есть линейный дифференциальный оператор первого порядка.

? Общий вид линейного дифференциального оператора в 2лмерном фазовом пространстве таков:

и является линейным дифференциальным оператором первого порядка.

Каждое из выражений (15.2) представляет собой, таким образом, линейный дифференциальный оператор первого порядка, примененный к одной из функций f_x, /₂ или /₃. Следовательно, каждое слагаемое в левой части тождества Якоби не содержит вторых частных производных от функций f, f₂, fy С другой стороны, по определению скобки Пуассона 15.1 в каждом слагаемом тождества Якоби обязательно должна присутствовать вторая частная производная от одной из функций f, f₂ или/₃. Отсюда следует, что все слагаемые в левой части тождества Якоби взаимно сокращаются и их сумма равна нулю. ?

Т (Пуассон). Если /j (p, q, t) и /₂(р, q, I) — два первых интеграла канонических уравнений Гамильтона

то их скобка Пуассона (/j, /₂) также является первым интегралом уравнений (15.3).

А Первые интегралы сохраняют свои значения вдоль фазовых траекторий уравнений (15.3), т. е.

Вычислим производную скобки Пуассона (f_bf₂) вдоль траектории гамильтоновой системы, используя ранее отмеченное свойства. Имеем Коммутатор двух линейных дифференциальных операторов X и Yравен.

Согласно (15.4) частные производные df_k/dt=-(f_k, И). Таким образом, согласно тождеству Якоби получим.

Следовательно, скобка Пуассона двух первых интегралов (/" 1,7г) постоянна вдоль фазовой траектории и есть первый интеграл уравнений (15.3). Т П. Рассмотрим систему N свободных материальных точек. В качестве обобщенных координат выберем декартовы координаты точек (х, …, x_N, у_{…y_N, Z|, …, z_N) и представим уравнения движения в форме канонических уравнений Гамильтона (15.3). Обобщенные импульсы равны р_Хк = т_кх_к, p_yt = т_ку_к, p_Zi = m_kz_k, где т_к — масса материальной точки. Допустим, что величины.

суть первые интегралы. Величина Q_x есть проекция количества движения на ось Ох, а величины G_x и G_y — проекции вектора момента количеств движения на оси Ох и Оу соответственно. Вычислим скобки Пуассона (G_x, G_y) и (Q_x, G_y). Имеем.

Следовательно, первыми интегралами являются также проекция момента количеств движения на ось Oz и проекция количеств движения на ось Oz.