Группа математико-статистических методов

. Корреляционный анализ (от лат. correlatio — соотношение, взаимосвязь) является частью математической статистики и используется для установления взаимосвязи между финансовыми показателями. При применении метода полагают, что значения финансовых показателей являются случайными величинами. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от случая принимает различные значения с некоторой вероятностью. Закон распределения случайной величины показывает частоту значений случайной величины в общей их совокупности. При исследовании взаимосвязей между финансовыми показателями на основе фактических значений показателей между ними наблюдается стохастическая зависимость. Она проявляется в том, что изменение закона распределения одной случайной величины происходит под влиянием изменения другой. Взаимосвязь между величинами может быть полной (функциональной) и неполной (искаженной другими факторами), называемой корреляционной. Основная задача корреляционного анализа — установление характера и тесноты связи между результативными (зависимыми) и факторными (независимыми) показателями (признаками) в данном явлении или процессе. Корреляционную связь можно обнаружить только при массовом сопоставлении фактов.

Характер связи между показателями определяется по корреляционному полю. Если у — зависимый признак, лх — независимый, то отметив каждый случай х (г) с координатами х и г/, получим корреляционное поле. По расположению точек можно судить о характере связи. Примеры некоррелируемых и коррелируемых переменных показателей приведены на корреляционных полях рис. 1.4.

Теснота связи определяется с помощью коэффициента корреляции, значение которого варьируется в интервале от -1,0 до +1,0. Если значение коэффициента корреляции находится в интервале от 1,0 до 0,9 по модулю, то отмечается очень сильная корреляционная зависимость. В случае если значение коэффициента корреляции находится в интервале от 0,9 до 0,6, то говорят, что имеет место слабая корреляционная зависимость. Наконец, если значение коэффициента корреляции находится в интервале от -0,6 до 0,6, то говорят об очень слабой корреляционной зависимости или полном ее отсутствии.

Регрессионный анализ предназначен для определения (идентификации) после установления в рамках корреляционного анализа наличия корреляционной связи между показателями — уравнения регрессии, включая статистическую оценку его параметров. Уравнение регрессии позволяет найти значение зависимой переменной, если величина независимой или независимых переменных известна, анализируя множество точек на графике (т.е. множество фактических значений показателей), найти линию, по возможности точно отражающую заключенную в этом множестве закономерность (тенденцию), — линию регрессии. По числу факторов различают одно-, двухи многофакторные уравнения регрессии.

По характеру связи однофакторные уравнения регрессии подразделяются;

а) на линейные, имеющие вид:

где х — экзогенная (независимая) переменная; у — эндогенная (зависимая, результативная) переменная; а, b — параметры;

б) степенные, имеющие вид:

в) показательные, имеющие вид:

Рис. 1.4. Примеры корреляционных полей:

а — переменные х и у не коррелируют; б — наблюдается сильная положительная корреляция; в — наблюдается слабая отрицательная корреляция Для нахождения уравнения регрессии сначала исследуется теснота связи между случайными величинами х и г/, т. е. корреляционная зависимость, и вычисляются средние значения, отклонения от средних величин, величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения экзогенной (независимой, факторной) и эндогенной (зависимой, результативной) переменной, корреляционный момент, коэффициент корреляции, параметры регрессионного уравнения.

Средние значения вычисляются для экзогенной переменной по формуле.

где x_v x_v …, х_п — совокупность значений независимого, факторного признака; п — количество наблюдений.

Для эндогенной переменной — по формуле.

где y_v у…, у_п — совокупность соответствующих значений зависимого, результативного признака; п — количество наблюдений.

Отклонения от средних величин для экзогенной переменной рассчитывается по формуле.

Для эндогенной переменной — но формуле Для эндогенной переменной — но формуле Величина дисперсии для экзогенной переменной рассчитывается по формуле.

Величина среднего квадратичного отклонения для экзогенной переменной рассчитывается по формуле.

Для эндогенной переменной — по формуле.

Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения характеризуют разброс наблюдаемых значений вокруг среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше разброс.

Для вычисления корреляционного момента (коэффициента ковариации) используется формула.

Корреляционный момент отражает характер взаимосвязи между экзогенной переменной х и эндогенной переменной у. Если К > 0, то взаимосвязь прямая, если К_{х у} < 0, то взаимосвязь обратная.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле.

Коэффициент корреляции может находиться в интервале от -1 до +1 (-1 в.

Вычисления продолжаются в случае, если коэффициент детерминации, равный коэффициенту корреляции в квадрате (R2xy), больше 0,36, при этом если значение пху > 0,8 — имеет место сильная корреляционная зависимость, а если R2xy находится в интервале от 0,6 до 0,8 — слабая корреляционная зависимость.

Для определения параметров линейного однофакторного уравнения регрессии вида (1.1) используются следующие формулы:

При выполнении расчетов в среде MS Excel используются следующие статистические функции:

• • СРЗНАЧ — для вычисления средних значений;
• • ДИСП — для нахождения дисперсии;
• • СТАНДОТКЛОН — для определения среднего квадратичного отклонения;
• • КОРРЕЛ — для вычисления коэффициента корреляции;
• • ЛИНЕЙН — для нахождения параметров линейного уравнения регрессии;
• • ЕХР — для нахождения параметров уравнения степенной регрессии;
• • ЛИНЕЙН — для нахождения параметров линейного двухфакторного уравнения регрессии.

Корреляционный момент вычисляется через отклонения от средних значений для ряда х и ряда у, сумма их произведений определяется при помощи функции СУММПРОИЗВ. Для получения корреляционного момента полученная сумма делится на количество наблюдений минус единица.

Рассмотрим применение метода на примере изучения взаимосвязи между валютой баланса предприятия X и выручкой этого предприятия за шесть лет. Выручку возьмем как результирующую (эндогенную) переменную, а валюта баланса будет факторной (экзогенной) переменной. Данные о фактических значениях показателей представлены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Фактические значения показателей по годам, млн руб.

Можно предположить, что между переменными существует прямая линейная зависимость: чем больше средств вложено в предприятие (величина валюты баланса), тем больше выручки предприятие получит. В случаях, когда вид зависимости логически определить сложно, строится корреляционное поле (см. рис. 1.4).

Определим параметры уравнения регрессии по данным табл. 1.1. Результаты вычислений для линейного однофакторного уравнения представлены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Уравнение регрессии, выражающее зависимость выручки (у) от валюты баланса (х), имеет вид:

Параметры линейного однофакторного уравнения регрессии.

Используя уравнение (1.16), найдем расчетные значения у и построим график зависимости выручки от валюты баланса (рис. 1.5).

Ломаная линия на графике отражает фактические значения результирующего показателя у, а прямая линия построена по уравнению регрессии и отражает тенденцию изменения прибыли в зависимости от выручки.

Если установлено, что зависимость между двумя переменными имеет вид степенной регрессии, расчеты производятся следующим образом. Для выведения уравнения степенной регрессии используются данные наблюдений по экзогенной и эндогенной переменным (табл. 1.3). Математи;

Рис. 1.5. График зависимости выручки от валюты баланса предприятия:

1 — фактические значения; 2 — расчетные значения Данные наблюдений.

чески для определения параметров уравнения степенной регрессии необходимо прологарифмировать исходное уравнение.

Обозначим In у через у', In а — как a', a In х — как х'. Тогда уравнение примет вид уравнения линейной регрессии В результате получим.

Прологарифмируем исходные данные табл. 1.3, полученные результаты приведем в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Прологарифмированные данные наблюдений.

Выполним расчеты по формулам (1.4)—(1.13), найдем значения коэффициентов Ь' и а'. Параметры а, b определяются по формулам: а = е", b = е^ь или с помощью функции в Excel — EXP.

Линейное двухфакторнос уравнение регрессии имеет вид:

где а, Ь_у b₂ — параметры; x_v х₂ — экзогенные переменные; у — эндогенная переменная.

Определение параметров этого уравнения производится с использованием функции Excel — ЛИНЕЙН.

Зависимость между двумя переменными может иметь вид степенного двухфакторного уравнения регрессии:

где а, а, [3 — параметры; x_v х₂ — экзогенные переменные; у — эндогенная переменная.

Находим параметры уравнения (прологарифмируем его).

Логарифм параметра, а вычисляется вручную или с использованием функции Excel ЛИНЕЙН, после чего он преобразовывается в натуральное число. Линейное многофакторное уравнение регрессии имеет вид:

где a, by …, b_n — параметры; x_v…, х_п — экзогенные переменные; у — эндогенная переменная.

Определение параметров уравнения может производиться с использованием функции Excel — ЛИНЕЙН.