Определение параметров вероятности разрушения и распределительной функции

Задача идентификации неизвестных параметров математической модели (3.16) сводится к поиску неизвестных параметров вероятности разрушения А₂ (/) и распределительной функции В₂ (I, у), исходя из заданного критерия соответствия экспериментальных и расчетных данных.

В работах [49—54] и особенно в появившихся позднее работах [55—73] процесс измельчения описывается с помощью так называемых селективной и распределительной функций, которые являются аналогами применяемых нами функций А₂ (I) и В₂ (/, у). Поэтому представляет интерес сделать краткий обзор имеющихся в настоящее время подходов к определению этих функций.

Селективная функция S (я) характеризует удельную скорость измельчения частиц размера х и определяется как весовая часть частиц данного размера х, подвергшихся измельчению за единицу времени (за единицу измельчающего воздействия) (52J. Распределительная функция Я (х, у) определяется как весовая часть продуктов измельчения от крупности у, которая уменьшается до размера менее х, где х у. Функция Я (х, у) — это кумулятивная функция распределения продуктов крупностью менее х, после того как частицы с начальной крупностью у подверглись однократному разрушению (581. Я (х, у) изменяется от 0 до 1 (или от 0 до 100%), когда х изменяется от 0 до у.

В большинстве работ, посвященных определению функций измельчения, распределительную функцию представляют нормализованной, т. е. Я (х, у) — Я (xly). В (541 предполагается, что распределительная функция остается одинаковой для всякого измельчаемого материала, любых измельчающих машин, а также частиц любой крупности.

Используя выражение (3.17) для распределительной функции и гранулометрический состав, полученный опытным путем, в (54) находят селективную функцию из решения интегрального уравнения кинетики. Аналогичный способ расчета селективной функции используется и в (70, 711. Он основан на численном решении интегрального уравнения измельчения, представляющего собой уравнение Вольтерра I рода.

относительно искомой селективной функции S (х) при известной из эксперимента распределительной функции Я (х/у) и известных опытных интегральных кривых распределения частиц по размерам после (Я,.,) и до (Яi) i-ro нагружения.

Распределительная функция в уравнении (3.18) была найдена по результатам обработки экспериментальных данных для барабанных и валковых мельниц в виде линейной зависимости (701.

которая соответствует равномерному распределению частиц по размерам в разрушенном материале. Линейный характер распределительной функции сохраняется до размера разрушенных частиц ~90 мкм, после чего наблюдаются возрастающие по мере утонения частиц отклонения.

Селективная функция S (х), определенная из уравнения (3.18), имела различный характер для барабанных и валковых мельниц. Для барабанных мельниц.

Авторами [70, 71] делается вывод, что распределительная функция определяется в первую очередь свойствами измельчаемого материала, а селективная — принципом работы и конструкцией измельчающего устройства. Однако из полученных выражений (3.19) — (3.21) для Н (х/у) и S (г) этот вывод не следует в явном виде.

Седлачек и Басс [50] считали, что селективная функция является постоянной величиной для любой данной крупности частиц и не зависит от частиц других размеров. Для определения функций измельчения они использовали систему дифференциальных уравнений баланса массы конечных интервалов крупности измельчаемого материала и экспериментальные данные по размолам различной продолжительности. Однако между постоянными коэффициентами системы дифференциальных уравнений и функциями измельчения в работа [50] не было найдено никакой явной взаимосвязи и результаты следует признать некорректными [52].

Наиболее удачные попытки определения вида функций измельчения и их экспериментального подтверждения описаны в [52,55—73].

Гарднер и Аустин [52, 55] пользовались методом радиоактивных индикаторов для наблюдения за измельчением узких фракций крупности, выделенных на ситах. Пользуясь этим методом, можно проследить за любым изменением S и Н в зависимости от степени измельчения. Для исследований трех сортов угля была использована стандартная мельница Хардгроува. В ходе исследований было сделано несколько важных выводов [55].

• 1. Селективная и распределительная функции не зависят от времени измельчения.
• 2. Для данного измельчаемого материала и типа мельницы функции S и Н лишь в малой степени зависят от технологических условий. Функция распределения Н (х, у) может быть нормализована в Н (х/у) с удовлетворительным приближением.
• 3. Исследование [52, 55] существенно отличалось от всех предшествующих [50, 51, 53, 54] тем, что здесь S и // определяли экспериментально.
• 4. Было установлено [52, 55], что селективная функция для данного материала сильно зависит от размера частиц крупностью более 500 мкм. В этой области S (я) ^ я³. Ниже крупности 500 мкм S меньше зависит от х и больше изменяется в зависимости от вида измельчаемого материала.
• 5. Распределительная функция не зависит от относительного' количества частиц других размеров.

Исследования последних лет по определению функций измельчения связаны с конкретным типом измельчающих устройств, и их можно разделить на четыре группы: определение селективной и распределительной функций для шаровых [60, 63—69, 72, 73], молотковых [59], ударно-отражательных [56, 57], барабанных и валковых [70, 71] мельниц. Во всех этих работах получены чисто эмпирические выражения для S (х) и Н (х/у), справедливые для узкого диапазона изменения параметров и конкретной конструкции измельчающего аппарата.

Основной недостаток предшествующих исследований по определению функций измельчения, на наш взгляд, заключается в том, что процесс измельчения в них рассматривался пе с системных позиций, а эмпирически без учета внутренней структуры процесса, всей совокупности физико-механических эффектов и явлений и на этой основе обобщенного математического описания.

Запишем полученные в гл. 1,2 выражения для функций Л₂ (О и В₂ (/, у) для ударно-центробежных устройств.

Аналитические выражения (3.22) и (3.23) получены в результате проведения первого и второго этапов системного анализа процесса измельчения: качественного анализа процесса как сложной ФМС и построения математической модели процесса.

Из выражений (3.22) и (3.23) видно, что Л₂ (I) и В₂ (Z, у) для данного измельчаемого сыпучего материала, несущей среды и диаметра измельчителя являются функциями не только размера частиц, но и таких конструктивных параметров, как число оборотов измельчите- .ля п, ширина h и угол атаки ср И-образной лопасти. Кроме того, из выражения (3.23) видно, что функция В₂ (/, у) является не нормализованной, а изменяется в зависимости от размера разрушаемой частицы у.

Таким образом, полученные в результате системного анализа процесса измельчения аналитические выражения для функций А₂ (/) и В₂ (/, у), являющихся аналогами применяемых в других работах селективной и распределительной функций, опровергают часть выводов, сделанных в этих работах. В частности, функции измельчения для данного измельчаемого материала и типа мельницы зависят от режимных параметров и конструкции рабочего органа; распределительная функция не является нормализованной для ударно-центробежных измельчающих устройств.

Коэффициенты, входящие в выражения (3.22) и (3.23), определялись экспериментально. Для этого была специально разработана установка для разрушения одиночных частиц (рис. 3.34) [741. Установка состоит из камеры измельчения /, которая выполнена из органического стекла и представляет собой как бы срез ударно-центробежного устройства (47) по плоскости вращения. Внутри камеры измельчения 1 размещен ротор 2 с К-образными лопастями <3, выполненными из нержавеющей стали. Ротор приводится в движение синхронным электродвигателем 4 переменного тока через шкивы 5, 6 и ременную передачу 7.

Варьирование скорости вращения ротора 2 достигается тем, что шкивы 5 и 6 пятиступенчатые. Ото позволяет устанавливать пять значений частоты вращения: 1700, 3000, 6000, 9000,10 300 об/мин. Измельчаемая частица подается в камеру измельчения через входной патрубок 8. Частица, войдя в соприкосновение с У-образной .лопастью 3, имеет две возможности: разрушиться или не разрушнть;

Рис. 3.35. .Экспериментальные распределительные функции, полученные нри разрушении

1 — монофракции нз 30 частиц; 2 — из 40 частиц; 3 — из 50 частиц; 4 — из 80 частиц; 5 — из 100 частиц; в — 100 одиночных частиц; 7 — исходные частицы с я. После этого двигатель мгновенно останавливается при помощи: тормоза 9_Ч отсоединяется поддон камеры измельчения 12, крепящийся зажимами 10, 11, и производится анализ продуктов измельчения, факт разрушения частицы подтверждается визуально, а осколки собираются в специальную емкость. Для изменения конструктивных параметров У-образной лопасти — ширины h и угла атаки (р — в данной установке предусмотрено 75 сменных лопастей с 25 вариантами значений h и ср (на ротор крепятся три лопасти): h изменяется в пределах 1, 5, 10, 15, 20 мм, а ср — 1, 30, 90, 150, 180°.

Для корректного в статистическом смысле определения вероятности разрушения частицы определенного размера А₂ (/, п, /г, <�р)‘ нри заданных режимных параметрах установки необходимо проведение не менее 100 идентичных экспериментов по разрушению одиночных частиц, что является очень трудоемкой задачей. Функция В₂ (I, Y, л, Л, <�р) в этом случае находится путем анализа образовавшихся продуктов измельчения всех 100 частиц на электронно-вычислительной системе PMC «MiHi роге».

Учитывая эти обстоятельства, на первом этапе эксперимента былпроведен сравнительный анализ разрушения 100 одиночных частиц.

>и монофракций, состоящих из 30, 40, 50, 80, 100 и 150 частиц того •же размера. Целью этого эксперимента являлось, с одной стороны, подтверждение предположения о независимости функций Л₂ (/) и В₂ (/, у) от способа их определения (путем разрушения одиночных частиц или монофракции частиц того же размера), что привело бы к значительному сокращению объема эксперимента, так как в этом случае вероятность разрушения определялась бы в результате одного опыта, а не ста идентичных; с другой стороны, цель этого эксперимента — определение минимально необходимого количества частиц в монофракции.

Условия эксперимента: / = 2000 мкм, п = 6000 об/мин, h = = 15 мм, (р = 90°, измельчаемый материал — некондиционный (отходы производства) макропористый полимерный сорбент полисорб-1; время разгона электродвигателя — 1 мин; время измельчения — 1с.

В результате испытаний 100 одиночных частиц 82 из них разрушились при мгновенном взаимодействии с К-образной лонастыо, т. е. вероятность разрушения Л₂ (/, п, /г, <�р) = 0,82.

При испытаниях монофракций получили следующие значения вероятности разрушения: монофракция из 30 частиц — Л₂ (/, гг, /г, (р) = 0,79; из 40 частиц — А₂ (/, гг, /г, ф) = 0,80; из 50 частиц — А₂ (/, /г, Л, ф) = 0,81; из 80 частиц — Л₂ (/, гг, /г, ф) = 0,82; из 100 частиц — А₂ (I, гг, /г, ф) = 0,83; из 150 частиц — Л₂ (/, гг, /г, ф) = = 0,82, т. е. вероятность разрушения не изменяется в пределах ошибки эксперимента. Функции В₂(1, у, гг, /г, ф) показаны на рис. 3.35. Как видно из рисунка, для получения воспроизводимых результатов необходимы монофракции с числом частиц не менее 100.

Для дальнейших экспериментов в качестве исходного измельчаемого материала была принята монофракция из 100 частиц.

Второй этап эксперимента заключался в определении неизвестных параметров, входящих в выражения (3.22) и (3.23). Учитывая большой объем опытов при применении методов классического регрессионного анализа (при варьировании переменных /, гг, /г, ф, Пу на пяти уровнях необходима постановка 625 опытов), использовалась •стандартная методика планирования эксперимента, реализованная на ЦВМ 175]. Это сократило объем опытов до 16. Для этого выражения (3.22) и (3.23) линеаризовались логарифмированием:

Коэффициенты уравнении (3.25), (3.26) определяются методом наименьших квадратов. По этим коэффициентам находят коэффициенты выражений (3.22), (3.23). Однако следует иметь в виду, что полученные таким образом коэффициенты являются смещенными оценками для соответствующих генеральных коэффициентов (76] и требуют уточнения.

Для проведения планирования эксперимента были выбраны уровни варьирования переменных, представляющие собой границы исследуемой области по данному параметру (табл. 3.6). Опыты проводились согласно матрице планирования полного факторного эксперимента 2⁴ (табл. 3.7). Для этого было подготовлено восемь монофрак;

Таблица З.С.