Случайные величины и их числовые характеристики

Случайная величина (СВ) есть функция, определенная на пространстве элементарных исходов. Случайной называется величина, которая в результате испытаний может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретной называется СВ, принимающая только счетное число значений. Примерами дискретных СВ являются: число неисправных элементов, устройств, агрегатов из общего числа находящихся в эксплуатации; число дефектных изделий в партии продукции; количество повреждений элементов какого-либо оборудования в единицу времени и т. д.

Непрерывные СВ могут принимать любое значение в одном или большем числе интервалов. Непрерывные СВ получают, когда имеют дело не с результатами счета, а с результатами измерений. Примерами непрерывных СВ являются: время безотказной работы элементов, устройств, агрегатов, систем; время вынужденного простоя оборудования из-за отказов; время восстановления (обслуживания); уровень того или иного технического параметра (мощности, напряжения, тока, шума) и т. д.

Из-за невозможности указать, какое конкретное значение примет СВ в эксперименте, для ее характеристики применяются вероятности того, что она будет равна заданному значению или окажется в указанных пределах возможного значения. При этом используются понятия числовых характеристик распределений СВ. Основными числовыми характеристиками СВ являются:

• • характеристики положения (эмпирическое среднее значение х; математическое ожидание ~ М (Х), мода — наиболее вероятное ее значение — Мо{Х), медиана — значение СВ, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина больше или меньше Me: Р[Х < Ме (Х)] - Р[Х > А/е (АГ)]);
• • характеристики рассеяния (дисперсия — D (X), среднее квадратическое отклонение — о (Л), коэффициент вариации — у (Л));
• • началыше и центральные моменты.

Эмпирическое среднее вычисляется как.

где.

Xj(/ = 1,2,…, п) — результаты наблюдений.

Если заданы вероятности р_{ для значений х₍ случайной величины ЛГ, то математическое ожидание определяется формулой.

Медиана вычисляется по следующему алгоритму:

• 1. Все данные наблюдений упорядочиваются по величине.
• 2. Если п — нечетное число, то медиана Ме (Х) равна значению

упорядоченного наблюдения.

3. Если п — четное число, то медиана Ме (Х) равна среднему значению между.

— м упорядоченными наблюдениями.

Пример. В течение рабочей смены проведено 10 замеров напряжения в электрической сети цеха. Полученные отклонения от номинальных значений напряжения (в %) приведены в табл. 7.3.

Таблица 7.3.

Используя (7.11) найдем среднее отклонение напряжения в сети что вполне допустимо по условиям ее нормальных режимов.

Для вычисления медианы результаты наблюдений располагаются в порядке возрастания (табл. 7.4).

Таблица 7.4.

Так как п = 10, т. е. п — четное число, то медиана равна среднему между 5-м и 6-м наблюдениями. При 5-м наблюдении отклонение составило —3%, при шестом—1%. Me (и) = * ^ = -2%.

Мода — наиболее часто встречающееся значение изменения напряжения для полученных данных Мо (и) =0, хотя для такого небольшого числа наблюдений вычисление моды не имеет существенного значения.

Дисперсия СВ определяется как.

Дисперсия — величина, имеющая размерность квадрата данной СВ, что не всегда удобно при практических вычислениях рассеивания. Поэтому используют среднее квадратическое (или стандартное) отююнение

В качестве относительной характеристики рассеивания используется коэффициент вариации

Пример. Энергосистема ограничивает промышленное предприятие в потреблении электрической мощности на Р (МВт). В течение года возможны дефициты в 5, 10 и 15 МВт с вероятностями p_t соответственно 0,5, 0,2 и 0,1. Определить: а) математическое ожидание дефицита мощности; б) дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации возможных отклонений дефицита мощности.

Кроме рассмотренных характеристик положения и рассеяния СВ часто используются характеристики, называемые начальными и цeнmpaJlьнымu моментами.

Начальным моментом s-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание 5-й степени этой случайной величины.

При этом нулевой начальный момент любого ряда распределения равен единице, а математическое ожидание является первым на.

чальным моментом случайной величины X

Пример. Внезапное нарушение электроснабжения производственного объекта разной длительности приводит к его простою г_пр с распределением вероятностей, представленных в табл. 7.5.

Распределение квадрата случайной величины t]_? представлено в табл. 7.6.

Таблица 7.5.

Математическое ожидание СВ t_np определится как Таблица 7.6.

Вычисление математического ожидания квадрата СВ дает:

Переход от к M ]A соответствует вычислению второго начального момента a₂(/_v)= М= 106,15 и позволяет лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Вычисление начальных моментов более высоких порядков а₃(ЛГ),.

а₄(ДГ) и т. д. позволил бы еще больше усилить роль этих больших, но маловероятных значений.

Центральным моментом s-го порядка случайной величины X называют математическое ожидание величины [X — М.

Очевидно, что центральный момент нулевого порядка так же, как и начальный момент нулевого порядка равен единице (А') = 1. Центральный момент первого порядка равен нулю, поскольку.

а центральный момент второго порядка является дисперсией случайной величины X.

На основании изложенного выведены соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:

Более полное описание СВ может быть осуществлено с помощью введения понятий закона распределения вероятностей р (х) дискретной СВ, функции распределения Дх) и плотности распределения J[x).

Дискретная СВ полностью определяется законом распределения вероятностей — соответствием между возможными значениями СВ и их вероятностями.

if.

р (х) = Р (Х = х). При этом? р, = 1. Его можно задать таблично, аналитически м.

или графически, в виде многоугольника распределения.

Функция распределения (интегральная функция) определяет для каждого значения х вероятность того, что СВ Xпримет значение, меньшее х. F (x) = Р (Х<�х).

Математическое ожидание М (Х) и дисперсия D (X) непрерывной СВ определяются по формулам.

Плотность распределения непрерывной СВ — первая производная от функции распределения:

При отсутствии симметрии распределения СВ вводятся понятия асимметрии и эксцесса.

Асимметрией называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: А_я =^.

с

На рис. 7.12, а показано два асимметричных относительно моды распределения: одно из них (кривая 1) имеет положительную асимметрию (Л, > 1), другое (кривая 2) — отрицательную (A_J < 1).

Для оценки «крутости* - большей или меньшей степени подъема кривой плотности распределения — вводится понятие эксцесса, которым называют характеристику, определяемую равенством.

Число 3 вычитается из отношения — потому, что для наиболее распро;

о страненного в природе нормального распределения вероятностей (см. п. 7.8).

Число 3 вычитается из отношения потому, что для наиболее распро;

<7.

странснного в природе нормального распределения вероятностей (см. п. 7.8).

~ = 3 и его эксцесс равен Е_х — 0. Кривые, более островершинные (кривая 2 на, а рис. 7.12, б) по сравнению с нормальной (кривая 1 на рис. 7.12, б) обладают положительным эксцессом; более плосковершинные (кривая 3 на рис. 7.12, б) — отрицательным.

Рис. 7.12. Кривые распределения

Поскольку вероятность того, что непрерывная СВ X примет одно определенное значение равна нулю, возникает задача определения вероятности попадания се в заданный интервал (а, р). Для непрерывной СВ функция распределения F{X) есть неубывающая функция. Поэтому для интервала (х, = а, х₇ = р), где х < *2″ справедливо следующее выражение:

Если известна плотность распределения /(*), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а, р), определяется как.

При описании непрерывных распределений часто используют так называемые квантили. Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности р, называют такое значение х = х_рл при котором функция распределения примет значение, равное р, т. е. Р{х_р) = р.