Собственные колебания в линейных динамических системах

Для оценки поведения динамической системы, описываемой неоднородным дифференциальным уравнением.

необходимо учесть начальные условия, характеризующие внутреннее состояние системы в заданный момент времени. Оказывается, что удобно задавать искомую линейную функцию и се п — 1 производную для t = 0: w_BX(0);

КЛ 0)…

Решение неоднородного дифференциального уравнения (4.38), удовлетворяющее любым начальным условиям, состоит из суммы двух слагаемых:

• • частного решения неоднородного уравнения, правая часть которого i (t) отлична от нуля и которое характеризует вынужденные колебания системы под действием возмущающих сил;
• • общего решения однородного уравнения

определяющего свободные колебания после исчезновения возмущающих сил.

Решение однородного дифференциального уравнения связано с отысканием корней его характеристического уравнения.

Данное уравнение имеет п корней. Поскольку постоянные коэффициенты а_п являются вещественными величинами, корни уравнения q_v q₂> …, q_n могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряженными. Когда корни различны, общее решение дифференциального уравнения (4.40) характеризует собственные колебания в линейной динамической системе и имеет вид.

постоянные числа, определяемые из начальных условий.

К где V_v V₂,

Динамическая система устойчива, если ее свободные колебания затухают. Необходимое и достаточное условие устойчивости — отрицательные действительные корни уравнения (4.40). Корни не должны быть и мнимыми. Хотя свободные колебания в линейной динамической системе являются гармоническими (u_CB(t) = cos соt, u_CB(t) = sinco?), небольшие изменения параметров могут перевести ее в неустойчивое состояние, когда напряжения u_ca(t) = e^coscot, ujt) = e^a'sinco? являются экспоненциально нарастающими колебаниями.

Рассмотрим систему, аналогичную системе на рис. 4.20, но с комплексной переменной р и включающую в себя усилитель с передаточной функцией К (р), у которого выход соединен с входом цепью ОС с передаточной функцией р (р). Пусть возмущающий сигнал U_Bblx(p) = 0. Уравнение состояния системы записывают на основании того, что изображение выходного сигнала связано с изображениями параметров активного элемента и цепи обратной связи как.

Отсюда получим

Обычно U_Bblx(p) тождественно не равно нулю (иначе система не могла бы возбуждаться), поэтому равенство (4.42) справедливо лишь при тех значениях аргумента р, которые являются корнями характеристического уравнения

Пусть p_v p_v …, р_п — корни этого уравнения. Поскольку исследуется линейная система, то в общем случае по аналогии с формулой (4.41) выходной сигнал.

Этот сигнал не будет нарастать, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части, т. е. располагаются в левой полуплоскости переменной р = a + j (o. Линейная система с ОС, обладающая такими свойствами, будет устойчива.

При синтезе и анализе линейных систем с ОС возможны две задачи. Если синтезируемая система должна быть устойчивой, необходим критерий, который позволил бы по виду функций К (р) и р(р) судить об отсутствии корней характеристического уравнения в правой полуплоскости. В случае, когда ОС используется для создания неустойчивой системы, необходимо знать корни уравнения (4.43), определяющие частоту возникающих колебаний. При высоком порядке динамической системы прямая проверка устойчивости, связанная с отысканием корней характеристического уравнения, может быть затруднительной. Поэтому разработан ряд критериев устойчивости, позволяющих определять наличие корней с отрицательными (или положительными) значениями действительных частей непосредственно по виду коэффициентов, не решая самого уравнения.

Алгебраический критерий устойчивости (критерий Гурвица). Критерий относится к алгебраическим, и по нему исследуют коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы. Задачу решают, анализируя соотношения между коэффициентами уравнения без определения его корней.

Чтобы записать данное уравнение, вначале необходимо найти выражение для передаточной функции замкнутой системы. Пусть и основной элемент, и элемент ОС системы являются цепями с сосредоточенными параметрами и описываются следующими передаточными функциями:

Подставив выражения (4.44) в формулу (4.43), получим характеристическое уравнение системы.

Отсюда следует, что система с ОС устойчива, если все корни уравнения.

имеют отрицательные действительные части.

В математике многочлены Н (р) называют многочленами Гурвица¹. Проанализируем один из множества реальных многочленов Гурвица

с тремя корнями, один из которых р_{ = -а действительный и отрицательный, а два других — комплексно-сопряженные с отрицательными вещественными частями: р_{2 3}= -у ± усо₀. Прямая подстановка корней показывает, что многочлен.

содержит все степени переменной р, начиная со старшей, и имеет коэффициенты одного знака.

Однако рассмотренный признак характеризует лишь необходимые условия того, чтобы многочлен относился к многочленам Гурвица.

Полное решение этой задачи нашло отражение в известной теореме Гурвица: для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно иметь положительными следующие величины:

• • коэффициенты а₀ и а_п
• • определители многочлена Гурвица от 1-го до п-го порядков, составленные из коэффициентов а₀, а_{,…, а_п, а_п характеристического уравнения (4.40)]
• • все главные миноры этих определителей.

Главный определитель многочлена Гурвица строится по следующей схеме:

¹ Адольф Гурвиц (A. Hurwitz, 1859—1919) — немецкий математик.

Алгебраический критерий устойчивости часто называют критерием Рауса — Гурвица. Раскрывая определители многочлена Гурвица, можно получить условия устойчивости для систем различных порядков. Системы 1-го и 2-го порядков устойчивы всегда, так как условия устойчивости для них сводятся к требованию а₀ > 0, а, > 0, а₂ > 0. Для системы 3-го порядка условие устойчивости находят, раскрывая определитель Д₂:

Если последнее неравенство заменить равенством, получим условия, при которых система будет находиться на границе устойчивости.

Пример 4.5.

С помощью критерия Рауса — Гурвица проверим устойчивость системы, характеристическое уравнение которой имеет вид р³ + Ар² + Зр + 4 = 0.

Решение

В этой формуле а_:1 > 0 и а₀ > 0. Строим определитель:

Единственный главный минор 4 > 0. Таким образом, система устойчива.

Достоинство критерия Рауса — Гурвица — простота вычислений. Недостаток — он применим для цепей с сосредоточенными параметрами, поскольку лишь в этом случае передаточная функция есть частное от деления многочленов в формуле (4.45).

Критерий устойчивости Найквиста. В теории связи широко применяют критерий Найквиста, или частотный критерий. При исследовании устойчивости анализируют частотный коэффициент передачи усилителя с разомкнутым кольцом ОС, называемый амплитудно-фазовой характеристикой (ЛФХ):

где /С,(со) = Х (со)р (со) — модуль коэффициента передачи усилителя; cp^(co) = = фДсо) + Фр (со) — суммарный фазовый сдвиг выходного сигнала, вносимый усилителем и цепью ОС.

АФХ /С,(со) представляют графически на комплексной плоскости (в координатах Im К у Re) годографом — линией, отражающей зависимость коэффициента передачи от частоты (рис. 4.23). Годограф можно построить по.

Рис. 4.23. Годографы усилителей:

а — устойчивого; б — неустойчивого аналитическим расчетам, а также снять экспериментально. Это выгодно отличает рассматриваемый критерий от всех других.

Для построения годографа амплитудно-фазовой характеристики в диапазоне рабочих частот от до +°° вычисляют ее модуль К_{(со) и аргумент.

(p_z(co). Определив, например, для частоты (о_а модуль /С,(со) и аргумент (p_I(w_w), проводят из начала координат вектор длиной /С,(со") иод углом cp_I(co_w) к действительной оси (линии 0а на рис. 4.23). Проделав аналогичные операции для других частот, лежащих вне полосы пропускания усилителя, строят годограф, соединяя линией концы векторов. Устойчивость усилителя определяют, но расположению точки с координатами (1, /0) относительно годографа (см. рис. 4.23). Если годограф АФХусилителя с разомкнутым кольцом ОС охватывает точку с координатами (1, /0), то усилитель с замкнутым кольцом ОС неустойчив. Это условие является критерием устойчивости Найквиста, или геометрическим критерием. Для практических усилителей с ОС модуль коэффициента передачи усилителя с разомкнутым кольцом ОС /С,(со) стремится к нулю с ростом частоты. Поэтому АФХ проходит через начало координат, а АФХ замкнута и симметрична относительно вещественной оси, поскольку К_{(-со) = К*(со).

Известны и другие критерии устойчивости, например критерий Михайлова.